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NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenDonnerstag, 19. September 2019 

Matrix (Mathematik)


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der linearen Algebra ist eine Matrix (pl.: Matrizen) eine 2-dimensionale Anordnung von (aber auch anderen Objekten wie Operatoren ) in Tabellenform. Man spricht von den Spalten und Zeilen der Matrix und bezeichnet selbige auch Vektoren (d.h. Zeilenvektoren und Spaltenvektoren). Die Objekte in der Matrix angeordnet sind nennt man Komponenten oder Elemente der Matrix.

Wenn die Matrix m Zeilen und n Spalten besitzt spricht man von einer m × n -Matrix und nennt m und n die Dimensionen der Matrix. Ist m = n spricht man von einer n × n oder quadratischen Matrix . Die Komponente die in der i -ten Zeile an j -ter Stelle steht hat die Indices i j . Eine allgemeine 2 × 3 Matrix A sieht zum Beispiel so aus:

<math>
 \begin{pmatrix} a_{11} & a_{12} & a_{13} a_{21} & a_{22} & a_{23} \end{pmatrix} = 2 j=1\ldots 3}</math>  

Die Menge aller m × n -Matrizen über einer Menge K bezeichnet man mit K m×n oder K m n selten auch mit m K n .

Hat eine Matrix nur eine einzige oder Zeile dann nennt man sie Vektor . Man unterscheidet dabei zwischen einem Zeilenvektor nur einer Zeile) oder einem Spaltenvektor (mit einer Spalte). Oft benötigt man diese Unterscheidung (wenn man sie nicht mit Matrizen multiplizieren und bezeichnet die Menge aller n -stelligen Vektoren über einer Menge K mit K n statt K 1×n oder K n×1 .

Im Zusammenhang mit Matrizen oft auftretenden sind der Rang und die Determinante einer Matrix.

"Kippt" man die Matrix A an der Hauptdiagonalen (die von links oben nach rechts geht ihre Komponenten sind a ii ) dann erhält man die zu A transponierte Matrix A T .

Zwei Matrizen A und B gleicher Dimension mit Komponenten in einer (z.B. den reellen Zahlen ) kann man komponentenweise addieren. Stimmt dagegen Zeilenanzahl von A mit der Spaltenanzahl von B überein dann kann man das Matrixprodukt A*B berechnen. Siehe dazu die folgenden Beispiele.

Inhaltsverzeichnis

Rechnen mit Matrizen

Addieren von Matizen

Zwei Matrizen A und B werden indem man die in den Matrizen an Stelle stehenden Komponenten addiert:

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 3 & 2 1 & 0 & 0 \\ 1 2 & 2 \end{pmatrix}  
+
 \begin{pmatrix} 0 & 0 & 5 7 & 5 & 0 \\ 2 1 & 1 \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} 1+0 & 3+0 & 2+5 1+7 & 0+5 & 0+0 \\ 1+2 2+1 & 2+1 \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix} 1 & 3 & 7 8 & 5 & 0 \\ 3 3 & 3 \end{pmatrix}  
</math>

Genauso werden auch Vektoren addiert.

<math>
 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 9  
+
 \begin{pmatrix} 3 \\ 7 \\ 2  

\begin{pmatrix} 1+3 \\ 2+7 \\ 9+2

 \begin{pmatrix} 4 \\ 9 \\ 11  
</math>

<math>
 \begin{pmatrix}  

 1 & 2 & 9 \end{pmatrix} 
+
 \begin{pmatrix} 3 & 7 & 2  

\begin{pmatrix} 1+3 & 2+7 & 9+2

 \begin{pmatrix} 4 & 9 & 11  
</math>

Vervielfachen von Matrizen (Skalarmultiplikation)

Eine Matrix oder ein Vektor A mit einer Zahl r vervielfacht (multipliziert) indem jede Komponente von A mit r multipliziert:

<math>2 \cdot
 \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} 2\cdot 1 & 2\cdot 8 2\cdot (-3) \\ 2\cdot 4 & 2\cdot & 2\cdot 5 \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix}  

 2 & 16 & -6 \\ & -4 & 10 \end{pmatrix}  
</math>

Diese Rechenoperation nennt man Skalarmultiplikation das Ergebnis ist ein skalares Produkt es ist zu unterscheiden vom Skalarprodukt zweier Vektoren.

Multiplizieren von Matrizen

Zwei Matrizen A und B werden multipliziert indem jeweils die Zeilenelemente der ersten mit den entsprechenden Spaltenelementen der zweiten Matrix werden. Die Multiplikation von Matrizen ist nur möglich wenn die Länge der Zeilen (= Anzahl der Spalten) der ersten Matrix mit Länge der Spalten (= Anzahl der Zeilen) zweiten Matrix übereinstimmt. Ist A eine l×m -Matrix und B eine m×n -Matrix so ist das Produkt eine l×n -Matrix:

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 4 & 5 & 6 \\ \end{pmatrix} 
\cdot
 \begin{pmatrix} 6 & -1 \\ 3 2 \\ 0 & -3 \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} (1 \cdot 6 + 2 3 + 3 \cdot 0) & (1 -1 + 2 \cdot 2 + 3 -3) \\ (4 \cdot 6 + 5 3 + 6 \cdot 0) & (4 -1 + 5 \cdot 2 + 6 -3) \\ \end{pmatrix}

 \begin{pmatrix} 12 & -6 \\ 39 -12 \end{pmatrix}  
</math>

Dabei können A und B auch Vektoren sein solange die Formate (siehe dazu auch den Abschnitt Vektor-Vektor-Produkte ).

Formal definiert ist die Matrixmultiplikation für A = ( a ij ) und B = ( b ij ) der Formate l×m und m×n als die Matrix C = ( c ij ) mit den Komponenten

<math>
 c_{ij} = \sum_{k=1}^m a_{ik} b_{kj}\quad i=1 l j=1 \ldots n  
</math>

Die transponierte Matrix

Die Transponierte der Matrix A = ( a ij ) vom Format m×n ist die Matrix A T = ( a ji ) vom Format n×m .

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 8 & -3 4 & -2 & 5 \end{pmatrix}^T  

\begin{pmatrix} 1 & 4 \\ 8 -2 \\ -3 & 5 \end{pmatrix} </math>

Die inverse Matrix

Ist ( R + * 0) ein Ring dann bildet die Menge R n×n der quadratischen Matrizen vom Format n×n ebenfalls einen Ring mit der oben Matrixaddition und -multiplikation. Das Nullelement ist die Nullmatrix 0 deren Komponenten alle 0 sind. Hat R ein Einselement 1 dann ist die Einheitsmatrix E das Einselement des Matrixrings. Sie hat der Hauptdiagonalen 1 und sonst 0.

Ist K ein Körper dann sind im Ring K n×n genau diejenigen Matrizen invertierbar ( regulär ) deren Determinante ungleich 0 ist. Man kann die Matrix A inverse Matrix A -1 zum Beispiel mit dem Gauss-Algorithmus bestimmen. Dazu löst man das lineare A*X E . Die Matrix E ist die Einheitsmatrix die Matrix X ist dann das Inverse von A .

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 1 & 1 & 4 \\ 1 4 & 5 \end{pmatrix}  
\cdot
 \begin{pmatrix} a & b & c d & e & f \\ g h & i \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 0 & 1 & 0 \\ 0 0 & 1 \end{pmatrix} </math> Es entsteht LGS mit 9 Unbekannten und 9 Gleichungen:
<math>\begin{matrix}
1a + 1b + 1c + + 0e + 0f + 0g + + 0i

1\\ 2a + 1b + 4c 0d + 0e + 0f + 0g 0h + 0i = 0\\ 3a + + 5c + 0d + 0e + + 0g + 0h + 0i = 0a + 0b + 0c + 1d 1e + 1f + 0g + 0h 0i = 0\\ 0a + 0b + + 2d + 1e + 4f + + 0h + 0i = 1\\ 0a 0b + 0c + 3d + 4e 5f + 0g + 0h + 0i 0\\ 0a + 0b + 0c + + 0e + 0f + 1g + + 1i = 0\\ 0a + 0b 0c + 0d + 0e + 0f 2g + 1h + 4i = 0\\ + 0b + 0c + 0d + + 0f + 3g + 4h + = 1\\ \end{matrix} </math>

Bei näherer Betrachtung stellt man aber schnell fest dass man dieses Gleichungssystem immer als drei getrennte Gleichungssysteme mit je drei und Unbekannte zerlegen kann:

<math>\begin{matrix}
1a + 1b + 1c = 2a + 1b + 4c = 0\\ + 4b + 5c = 0\\ \end{matrix}

<math>
\begin{matrix} 1d + 1e + 1f 0\\ 2d + 1e + 4f = 3d + 4e + 5f = 0\\ </math>

<math>
\begin{matrix} 1g + 1h + 1i 0\\ 2g + 1h + 4i = 3g + 4h + 5i = 1\\ </math>

Es muss also dreimal dasselbe Gleichungssystem unterschiedlichen rechten Seiten (nämlich den drei Einheitsvektoren) werden. Dies gilt analog bei Matrizen höherer Effizient geht dies über elementare Zeilenumformungen also das Gauß-Verfahren. Das Ergebnis sollte lauten:

<math>
 \begin{pmatrix} a & b & c d & e & f \\ g h & i \end{pmatrix}  

\begin{pmatrix} 2 75 & -0 5 -1 25 \\ 0 25 & -0 & 0 25 \\ -0 75 & 5 & 0 25 \end{pmatrix} </math>

Berechnung der Inversen mittels elementarer Zeilenumformungen:

Wir schreiben rechts neben die zu Matrix die Einheitsmatrix z.B.

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 | & 1 & 0 & 0 4 & 5 & 6 & | 0 & 1 & 0 \\ 7 8 & 7 & | & 0 0 & 1 \end{pmatrix}  
</math>

Jetzt formen wir die Matrix so mit Elementaren Zeilenumformungen um bis auf der linken Seite Einheitsmatrix steht. Das ist nicht besonders kompliziert oben angegebenen Beispiel geht das z.B. folgendermaßen:

Im ersten Schritt ziehen wir dazu erste Zeile 4 mal von der zweiten und 7 mal von der dritten:

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 | & 1 & 0 & 0 0 & -3 & -6 & | -4 & 1 & 0 \\ 0 -6 & -14 & | & -7 0 & 1 \end{pmatrix}  
</math>

Jetzt ziehen wir die zweite Zeile mal von der dritten ab und erhalten links eine obere Dreiecksmatrix:

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 | & 1 & 0 & 0 0 & -3 & -6 & | -4 & 1 & 0 \\ 0 0 & -2 & | & 1 -2 & 1 \end{pmatrix}  
</math>

Nun normieren wir die Zeilen um der Diagonalen 1er zu erhalten indem wir zweite mit -1/3 Multiplizieren die dritte mit

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 2 & 3 | & 1 & 0 & 0 0 & 1 & 2 & | \frac{4}{3} & -\frac{1}{3} & 0 \\ 0 0 & 1 & | & -\frac{1}{2} 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}  
</math>

Von der ersten Zeile ziehen wir mal die zweite ab und addieren die 1 mal anschließend ziehen wir die dritte 2 mal von der zweiten ab:

<math>
 \begin{pmatrix} 1 & 0 & 0 | & -\frac{13}{6} & \frac{5}{3} & -\frac{1}{2} 0 & 1 & 0 & | \frac{7}{3} & -\frac{7}{3} & 1 \\ 0 0 & 1 & | & -\frac{1}{2} 1 & -\frac{1}{2} \end{pmatrix}  
</math>

Auf der rechten Seite steht jetzt Inverse der ursprünglichen Matrix.

Welche elementaren Zeilenumformungen man verwendet ist egal es empfielt sich jedoch ein zielgerichtetes wie eben gezeigt (Spalte für Spalte auf Dreiecksmatrix bringen anschließend die Diagonale auf 1en Anschließend ist es meistens am einfachsten wenn (anders als eben gezeigt) von unten anfangend Einheitsmatrix herstellt. (Im eben gezeigten Beispiel hätte dazu statt dem letzten Schritt erst die Zeile 2 mal von der vorletzten abgezogen die letzte 3 mal und die mittlere 2 mal von der ersten)

Vektor-Vektor-Produkte (Skalarprodukt)

Hat man zwei Spaltenvektoren v und w der Länge n dann ist das Matrixprodukt v*w nicht definiert aber die beiden Produkte v T *w und v*w T existieren.

Das erste Produkt ist eine 1×1-Matrix als Zahl interpretiert wird sie wird das kanonische Skalarprodukt von v und w genannt und mit < v w > bezeichnet.

<math>
 \begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3  
\cdot
 \begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}  
 1 \cdot (-2) + 2 \cdot + 3 \cdot 1  

3 </math> Das zweite Produkt ist n×n -Matrix und heißt das dyadische Produkt von v und w .
<math>
\begin{pmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \cdot \begin{pmatrix} -2\\ -1\\ 1 \end{pmatrix}^T

 \begin{pmatrix} 1\cdot(-2) & 1\cdot(-1) & 1\cdot \\ 2\cdot(-2) & 2\cdot(-1) & 2\cdot 1 3\cdot(-2) & 3\cdot(-1) & 3\cdot 1 \end{pmatrix} 
=
 \begin{pmatrix} -2 & -1 & 1 -4 & -2 & 2 \\ -6 -3 & 3 \end{pmatrix}  
</math>

Umformen von Matrizengleichungen

Speziell in den Multivariaten Verfahren werden häufig Beweisführungen Herleitungen usw. im durchgeführt.

  
Gleichungen werden im Prinzip wie algebraische umgeformt. Es wird von der Gleichung

<math>X=Y</math>

ausgegangen mit X Y als n×m -Matrix.

Addieren und Subtrahieren

Die Gleichung kann von links und mit einer n×m -Matrix A additiv erweitert werden zu

<math>X+A=Y+A</math>

bzw.

<math>-A+X=Y-A</math> .

Multiplizieren mit einer Matrix

Die Gleichung kann multiplikativ von links die r×n -Matrix A oder von rechts durch die m×s -Matrix B erweitert werden:

<math>AX=AY</math>

bzw.

<math>XB=YB</math>

"Division" durch eine Matrix A

Die Gleichung wird mit der Inversen Matrix A multipliziert wobei A invertierbar sein muss.

Beispiele

Lineares Gleichungssystem als einfache Umformung

Gesucht ist der Lösungsvektor x eines linearen Gleichungssystems

<math>Ax=b</math>

mit A als n×m -Koeffizientenmatrix. Man erweitert von links

<math>A^{-1} \cdot A \cdot x=A^{-1} \cdot b E \cdot x=A^{-1} \cdot b
</math>

und erhält die Lösung

<math>x=A^{-1} \cdot b </math>.

Eine etwas aufwendigere Umformung erfordert ein

Orthogonalitätsbeweis im Multiplen Regressionsmodell

Im Multiplen Regressionsmodell geht man davon dass eine abhängige Variable y durch p Variablen x j (j=1 ... p) erklärt werden kann. schätzt mit Hilfe der Methode der kleinsten Quadrate die Regressionskoeffizienten als

<math>b= (X^TX)^{-1}X^Ty</math>

und erhält mit der Schätzung das

<math>y=Xb+d</math>

mit y als (n×1)-Vektor der n d als (n×1)-Vektor der Residuen b als der Regressionskoeffizienten und der (n× (p+1))-Datenmatrix X.

  
Es soll gezeigt werden dass d T Xb = 0 ist: Es ist zunächst

<math>d^TXb=(y-Xb)^TXb=(y^TXb-b^TX^TXb)</math>

Wegen

<math>Xb=X(X^TX)^{-1}X^Ty </math>

mit

<math>M:=X(X^TX)^{-1}X^T </math>

als idempotenter Matrix d.h.

<math>M \cdot M=M </math> .

erhält man

<math>d^TXb=y^TMy-y^TMMy </math>

was wegen MM=M das Skalar 0

Die Regressionshyperebene Xb steht auf d was man dahingehend interpretieren kann dass in Residuen keine verwertbare Information von X bzw. mehr enthalten ist.

Verallgemeinerungen

Man kann auch Matrizen mit unendlich Spalten oder Zeilen betrachten. Diese kann man noch addieren. Um sie jedoch multiplizieren zu muss man zusätzliche Bedingungen an ihre Komponenten (da die auftretenden Summen unendliche Reihen sind und nicht konvergieren müssten).

Lässt man mehr als zwei Indices erhält man Strukturen die man sich als oder höherdimensionale Tabellen denken kann. Diese Strukturen spezielle Tensoren .



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