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Transzendente Zahl


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Inhaltsverzeichnis

Definition

Eine komplexe Zahl heißt transzendent wenn sie nicht als Lösung einer algebraischen Gleichung beliebigen Grades

<math> a_{n}x^{n} + \dots + a_{1}x a_{0} = 0 </math>

für n ≥ 1 mit ganzzahligen Koeffizienten a k auftreten kann wobei nicht alle a k = 0 sein dürfen. Insbesondere wird n 0 verlangt. Andernfalls handelt es sich eine algebraische Zahl. Jede transzendente Zahl ist überdies irrational .

Geschichtliche Entwicklung des Transzendenzbegriffs

Die Vorstellung der mathematischen Transzendenz kam im Laufe des 18. Jahrhunderts ganz allmählich in den Überlegungen großer wie Gottfried Wilhelm Leibniz ( omnem rationem transcendunt ) und Leonhard Euler auf die zwar keine strenge Definition Begriffs besaßen sich aber trotzdem sicher waren es solche mathematisch "schwer fassbaren" Zahlen geben von denen Euler schrieb sie "überschreiten [...] die Wirksamkeit algebraischer Methoden" . 1748 behauptete Euler sogar in seinem Lehrbuch Introductio in Analysin Infinitorum dass bei positivem rationalem a 1 und natürlichem b das keine Quadratzahl die Zahl <math> a^{\sqrt{b}} </math> nicht nur rational sondern auch "nicht mehr irrational " sei. Tatsächlich wurde diese "Transzendenzvermutung" 1934 als Spezialfall eines Resultats des russischen Aleksandr Gelfond in ihrer Richtigkeit bestätigt.

Joseph Liouville konnte 1873 als Erster die Existenz transzendenter Zahlen beweisen und war imstande mittels seiner Beweismethode explizite Beispiele zu liefern. In seiner in der er zeigen konnte dass für rationale Approximation p/q einer algebraischen Zahl eine natürliche n existiert so dass

<math> |x-\frac{p}{q}|\ >\ \frac{1}{q^{n+1}}\; </math>

stellte er die nach ihm benannte transzendente Liouville-Konstante

<math>L = \sum_{k=1}^{\infty} 10^{-k!} = 0{

vor.

Im Jahr 1874 konnte Georg Cantor nicht nur abermals die Existenz von transzendenten Zahlen beweisen sondern sogar zeigen dass es transzendente als algebraische Zahlen gibt. Im Gegensatz Liouville sicherte Cantor aber seine Erkenntnisse durch indirekten Beweis . Die mathematisch exakte Formulierung des Begriffs war aber sicherlich das wichtigste Ergebnis von Arbeit weil es das Wissen über das Zahlensystem revolutionär vertiefte. Allerdings konnten sich seine Ideen gegen einflussreiche konservative Kritiker wie Leopold Kronecker lange Zeit nicht durchsetzen. Er bewies die Menge der algebraischen reellen Zahlen (in Sprechweise) abzählbar ist während die Menge aller reellen überabzählbar (unendlich aber nicht abzählbar) ist. Daraus auch leicht dass die Menge aller transzendenten gleichmächtig mit der Menge aller reellen Zahlen ebenfalls überabzählbar) ist.

Dieser Sachverhalt lässt sich mengensprachlich folgendermaßen

Wenn <math>\mathbb{T}</math> die Menge der transzendenten und <math>\mathbb{R}</math> die Menge der reellen Zahlen dann gilt:

<math> \hbox{card} \ \mathbb{T} = \hbox{card} \mathbb{R} = 2^{\aleph_0} </math>

Hierbei ist <math> 2^{\aleph_0} </math> das mengentheoretische Symbol für die Mächtigkeit von <math> \mathbb{R} </math>.

Dieses kuriose Resultat nämlich dass eine Teilmenge von <math>\mathbb{R}</math> die gleiche Mächtigkeit haben wie <math>\mathbb{R}</math> selbst konnte Cantor durch die von Bijektionen erklären.

Beweis des Liouvilleschen Approximationssatzes


Theorem : Ist z m = p m /q m mit z m z für m → ∞ eine approximierende Folge der algebraischen Zahl vom Grad n dann gilt:

<math>|z - z_{m}| > \frac{1}{q_{m}^{n+1}}.</math>


Sei z eine algebraische Zahl vom n > 1 die

<math> f(z) = a_{n}z^{n} + \dots a_{1}z + a_{0} = 0 \ (n>1 a_{n} \ne 0)</math>

erfüllt. Weiterhin sei z m = p m /q m eine Folge von rationalen Zahlen mit m z für m → ∞ .

Dann erhalten wir

<math>f(z_{m}) = f(z_{m}) - f(z) = + a_{2}(z_{m}^{2} - z^{2}) + \dots + - z^{n}).</math>

Nun teilen wir beide Seiten der durch z m - z und benutzen die algebraische

<math>\frac{u^{n}-v^{n}}{u-v}=u^{n-1} + u^{n-2}v + u^{n-3}v^{2} + + uv^{n-2} + v^{n-1}.</math>

Es ergibt sich also

<math>\frac{f(z_{m})}{z_{m}-z} = a_{1} + a_{2}(z_{m} + + a_{3}(z_{m}^{2} + z_{m}z + z^{2}) + + a_{n}(z_{m}^{n-1} + \dots + z^{n-1}).</math>

Da |z m - z| < 1 für ausreichend m gilt können wir folgende grobe (aber ausreichende) Abschätzung machen:

<math>\left|\frac{f(z_{m})}{z_{m} - z}\right| < |a_{1}| + + 1) + 3|a_{3}|(|z| + 1)^{2} + + n|a_{n}|(|z| + 1)^{n-1} = M.</math>

M ist eine Konstante da wir als feste Zahl angenommen haben. Wenn wir m so groß wählen dass in z m = p m /q m der Nenner q m > M ist erhalten wir die

<math>|z - z_{m}| > \frac{|f(z_{m})|}{M} >

Wenn wir zur Abkürzung p für m und q für q m schreiben dann ist

<math>|f(z_{m})| = \left|\frac{a_{0}q^{n} + a_{1}q^{n-1}p + + a_{n}p^{n}}{q^{n}}\right|\;(2).</math>

Nun kann die Zahl z m keine Nullstelle des Polynoms f sein sonst könnte man (x - z m ) aus f(x) ausklammern. Daraus würde aber Widerspruch zu unserer Annahme folgen dass z Gleichung genügen würde deren Grad < n Daher ist f(z m ) 0. Aber der Zähler von (1) eine ganze Zahl also vom Betrag mindestens 1. Somit ergibt sich durch Kombination von und (2):

<math>|z - z_{m}| > \frac{1}{q}\cdot\frac{1}{q^{n}} = = \frac{1}{q_{m}^{n+1}}.</math>

Beispiele für transzendente Zahlen

  • π = 3 1415926... Die Transzendenz von π welche durch Carl Louis Ferdinand von Lindemann bewiesen wurde ist auch der Grund die Unlösbarkeit der Quadratur des Kreises .
  • e = 2 71828... die Eulersche Zahl deren Transzendenz 1873 von Charles Hermite bewiesen werden konnte.
  • e a für algebraisches a 0. Siehe auch Satz von Lindemann-Weierstrass .
  • <math>2^{\sqrt{2}}</math>. Allgemeiner konnte Aleksandr Gelfond 1934 zeigen: Ist 0 a 1 a algebraisch b algebraisch und dann ist a b eine transzendente Zahl . Dies ist eine Teillösung von Hilberts siebtem Problem . Ob der obige Satz auch für transzendente b wahr ist blieb bisher ungeklärt.
  • sin (1)
  • ln (a) für rationales positives a ≠ 1
  • Γ(1/3) und Γ(1/4) (siehe Gammafunktion )
  • <math>\sum_{k=0}^{\infty}10^{-\lfloor\beta^{k}\rfloor}\;</math> <math> \beta > 1.\;\beta\to\lfloor\beta\rfloor</math> bezeichnet hierbei Gaußklammerfunktion .

Verallgemeinerung

Im Kontext allgemeiner Körpererweiterungen L / K betrachtet man ebenfalls Elemente in L die algebraisch oder transzendent über K sind. Siehe dazu Algebraisch .

Literatur

  • P. Bundschuh Zahlentheorie . Heidelberg Springer 1998 4. Aufl. ISBN 3-540-43579-4 .
    Bietet einen einführenden Überblick zum Thema "transzendente an.
  • A. Baker Transcendental number theory . Cambridge Cambridge University Press 1990 (Nachdruck) ISBN 052139791X .
    Ein anspruchvolles Standardwerk das tiefgreifende Theoreme entwickelt profundes Vorwissen voraussetzt.
  • A. Shidlovskii Transcendental numbers . Berlin de Gruyter 1989 ISBN 3-11-011568-9 .
    Besser lesbar als das Buch von Baker ähnlich fundiert.
  • A. Jones S. Morris K. Pearson Abstract Algebra and Famous Impossibilities . New York Springer 1994 2. Aufl. ISBN 0-387-97661-2 .
    Enthält eine ausführliche Schritt-für-Schritt-Erläuterung des Lindemannschen Transzendenzbeweises π.

Weblinks



Bücher zum Thema Transzendente Zahl

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