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Tupel


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Ein Tupel häufig auch N-Tupel ist ein Begriff der Mathematik . Er bezeichnet eine geordnete Zusammenstellung von Objekten: "(a b c d.h. es ist eine Reihenfolge festgelegt! Als dass die Reihenfolge der Elemente wichtig ist die runden Klammern. Die Objekte werden als Komponenten oder Einträge des Tupels bezeichnet. Dadurch bei einem Tupel jedem seiner Elemente ein Platz zugeordnet ist kann es auch mehrfach Element enthalten. N bezeichnet hierbei die Anzahl der Elemente Tupels. Diese Anzahl muss abzählbar sein. Üblicherweise werden die Elemente eines mit Hilfe der natürlichen Zahlen indiziert.

Abgrenzung gegenüber Mengen

Ein Tupel ist von einer Menge zu unterscheiden. Bei einer Menge ist Reihenfolge der Elemente unerheblich! Deswegen kann eine ein und dasselbe Element niemals mehrfach enthalten. kann es nur entweder enthalten oder es enthalten. Für die Menge stehen geschweifte Klammern kennzeichnen dass die Elemente ungeordnet d.h. ohne sind.

Beispiele

Das Tupel (a b) ist verschieden (b a) dagegen ist die Menge {a = {b a} .

Ein Spezialfall von N-Tupeln sind Vektoren (eindimensionale Matrizen ) bei denen alle Elemente derselben Klasse Objekten angehören beispielsweise den reellen Zahlen . Ein Richtungsvektor im Raum lässt sich 3-Tupel darstellen ein Richtungsvektor in der Ebene 2-Tupel. Ein 2-Tupel wird auch als Paar bezeichnet.

(a b) ist ein Paar oder "(90 60 90)" ist ein 3-Tupel.

Formale Definition

Für Tupel wird gefordert dass zwei dann und nur dann gleich sind wenn in allen entsprechenden Komponenten übereinstimmen:

( a 1 a 2 ... a N )= ( b 1 b 2 ... b N ) genau dann wenn gilt: a 1 = b 1 a 2 = b 2 ... a N = b N .

Zwei alternative Definitionen derartiger Tupel sind

  1. Mit Hilfe von Mengen :
    • ( a 1 a 2 ... a n ) := { a 1 { a 1 a 2 } ... { a 1 a 2 ... a n }}
  2. Mit Hilfe der induktiven Definition :
    • Ein 1-Tupel ( a 1 ) ist gleich a 1
    • Wenn X ein N-Tupel ist dann ist ( X a n+1 ) ein (N+1)-Tupel

Beide Definitionen erfüllen die vorstehende Forderung.

Hat man den Begriff der Funktion bereits kann man ein N-Tupel mit aus einer Menge X (also einen N-stelligen Vektor in X ) auch als Funktion von der Menge ... N} in die Menge X auffassen. Ein Tupel mit abzählbar vielen ist eine Folge d.h. eine Funktion von der Menge N der natürlichen Zahlen in die Menge X .

Siehe auch: Mengenlehre Quaternionen Relation



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