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Unendlichkeit


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Die Unendlichkeit ist ein der direkten menschlichen Erfahrung fremdes Phänomen . Sie kann nur abstrakt in der Vorstellung entwickelt werden und wird auf Objekte die keine räumlichen oder zeitlichen Grenzen besitzen angewendet. Beispielsweise ist ein unendlich Weltraum vorstellbar; auch kann man sich eine Zeit ohne Ende denken (siehe Ewig ). Andererseits wird die Vorstellbarkeit der Unendlichkeit der Natur auch bezweifelt.

Unendliche Ausdehnungen der physikalischen Welt werden durch das aus der Mathematik stammende Symbol eine auf der Seite liegende 8

Neben der unendlichen Ausdehnung zu immer Größen wird auch die unendliche Teilbarkeit das Feine betrachtet dessen Grenze Null ist Null nicht erreicht. Aus der Negation des unendlich und deren Paradoxien ergab sich die ursprüngliche griechische "Atomtheorie" "Unteilbaren".

Inhaltsverzeichnis

Unendlichkeit in der Mathematik

Die Mathematik selbst kennt den Begriff Unendlichen in verschiedenen Teildisziplinen. Diese unterschiedlichen "Unendlichkeiten" dann jeweils ihre eigenen Eigenschaften und die sind nicht austauschbar .

Mengenlehre

Die Mengenlehre kennt die Mächtigkeit einer Menge welche bei endlichen Mengen genau die der Elemente angibt. Die einfache der Vorstellung leicht zugängliche Menge der natürlichen Zahlen ist jedoch nicht mehr endlich. Das sich leicht durch einen "Widerspruchsbeweis" einsehen: "Man an es gäbe endlich viele natürliche Zahlen. Zahl sei k . Da es aber eine Zahl k+1 gibt war die Annahme falsch. Daher es unendlich viele natürliche Zahlen."

Mengen mit unendlich vielen Elementen haben Eigenschaften die der direkten Anschauung zuwiderlaufen. Beispielsweise enthält die Menge der Zahlen die Teilmenge der geraden natürlichen Zahlen. Zwischen dieser und der Menge der natürlichen Zahlen existiert Bijektion das ist eine Abbildung die jedem der einen Menge genau ein Element der Menge zuordnet und umgekehrt. (Siehe dazu auch Hilberts Hotel .) Wenn zwei Mengen durch eine Bijektion abgebildet werden können besitzen sie die gleiche Die Menge der natürlichen Zahlen besitzt also Teilmenge die gleichmächtig zur Menge selbst ist.

Eine derartige Eigenschaft kann benutzt werden unendlich große Mengen zu erkennen. Man sagt eine Menge unendlich groß ist wenn sie zu einer ihrer echten Teilmengen ist.

Diese Begrifflichkeit des Unendlichen wird noch da es verschiedene Mengen gibt die unendlich Elemente besitzen die aber nicht bijektiv aufeinander werden können. Diese unterschiedlichen Mächtigkeiten werden mit Symbol (Aleph dem ersten Buchstaben des hebräischen Alphabets) und einem (anfangs ganzzahligen) Index (die Indizes durchlaufen die Ordinalzahlen ). Die Mächtigkeit der natürlichen Zahlen (die kleinste Unendlichkeit) ist in dieser Schreibweise 0 .

Die Reellen Zahlen bilden eine unendliche Menge die mächtiger die Menge der natürlichen Zahlen ist. Unter Voraussetzung dass die Kontinuumshypothese wahr ist ist die Mächtigkeit der Zahlen 1 .

Weitere Unendlichkeiten lassen sich mittels der Potenzmenge (Menge aller Teilmengen) konstruieren wobei aus einer Menge mit Mächtigkeit n die Potenzmenge mit Mächtigkeit n +1 entsteht. Dieser Vorgang kann (formal) immer geführt werden so dass es unendlich viele gibt (ein wahrlich die Anschauung strapazierendes Konzept).

Es gibt in der Mengenlehre mehrere die unendlich große Zahlen enthalten. Die bekanntesten Ordinalzahlen Kardinalzahlen Hyperreelle Zahlen und Surreale Zahlen .

Man kann die Unendlichkeit auch nach der Art der Herkunft definieren:

  • potentiell unendlich: man nimmt an dass die Möglichkeit ist immer noch weiter zu Beispiel: Man kann zu jeder natürlichen Zahl Nachfolger angeben.
  • aktual unendlich: man nimmt an dass unendliche Menge tatsächlich unendlich groß ist. Beispiel: betrachtet die Menge aller natürlichen Zahlen.

Analysis

Das Symbol ∞ wird in der verwendet um anzuzeigen dass eine Folge reeller Zahlen über alle Grenzen wächst. Siehe dazu Konvergenz (Mathematik) und Grenzwert . Es wurde vom englischen Mathematiker John Wallis 1655 als Zeichen für eine unendliche eingeführt. Ursprünglich wurde ∞ im alten Rom Zeichen für die Zahl 1000 verwendet. Anderen zufolge entstand es aus dem kleinen griechischen für Omega.

projektive Geometrie

In der projektiven Geometrie gilt dass Parallelen sich in einem "unendlich fernen Punkt" In der Perspektivenkonstruktion fällt dieser mit dem Fluchtpunkt der Geraden zusammen.

Siehe auch: Infinitesimal -- Limes -- Null (Zahl) -- Augustinus

Zitate

Albert Einstein: "Zwei Dinge sind unendlich: Universum und die menschliche Dummheit --- Beim bin ich mir noch nicht ganz sicher."

Literatur

  • Die Natur der Unendlichkeit.
    • Aczel Amir D.
    • Mathematik Kabbala und das Geheimnis des Aleph.
    • rororo Taschenbücher Nr.61358. 2002. 249 S.
    • ISBN 3-499-61358-1
  • Zur Erkenntnis des Unendlichen.
    • Beckert Herbert:
    • Abhandlungen der Sächsischen Akademie der Wissenschaften zu
    • Mathematisch-naturwissenschaftlich. 2001. 147 S. 29 5 cm. 556gr.
    • ISBN 3-7776-1136-0
  • Pasta all'infinito.
    • Beutelspacher Albrecht
    • Meine italienische Reise in die Mathematik. dtv Bd.33069. 2001.
    • ISBN 3-423-33069-4
  • Das Unendliche. Mathematiker ringen um einen Begriff.
    • Taschner Rudolf: 1995. IX 180 S. m. Abb. 20 5 cm. Kartoniert. 341gr.
    • ISBN 3-540-59093-5

Videos

Weblinks



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