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Universelle Algebra


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Die universelle Algebra ist ein Teilgebiet der Mathematik in dem Eigenschaften untersucht werden die algebraischen Strukturen gemeinsam sind. Ergebnisse der abstrakten Algebra werden hier verallgemeinert.

Inhaltsverzeichnis

Definition der Algebra

In der universellen Algebra ist eine Algebra eine Menge A zusammen mit einer Menge von Verknüpfungen auf A . Eine n -stellige Verknüpfung auf A ist eine Funktion f : A n -> A die n Elemente von A nimmt und ein Element von A liefert. Eine 0-stellige Verknüpfung ist einfach Element von A eine Konstante oft durch einen Buchstaben oder eine bezeichnet ( e 0 1). Eine einstellige Verknüpfung ist eine Funktion von A nach A oft durch ein Symbol vor oder dem Argument bezeichnet (- n n -1 n !). Eine zweistellige Verknüpfung wird oft durch ein Symbol zwischen beiden Argumenten bezeichnet ( a + b a * b f o g ). Verknüpfungen höherer Stelligkeit schreibt man meist Funktion ( f ( x y z )).

Nachdem die Verknüpfungen angegeben sind spezifiziert die Natur der Algebra durch Axiome die der universellen Algebra sämtlich in Form von geschrieben werden müssen. Ein Beispiel ist das für eine zweistellige Verknüpfung x * ( y * z ) = ( x * y ) * z . Das Axiom soll dann für alle x y z von A gelten.

Beispiele

Gruppen

Um zu sehen wie das funktioniert wir die Definition einer Gruppe . Üblicherweise ist eine Gruppe definiert als Menge A mit einer zweistelligen Verknüpfung * wobei folgenden drei Axiome erfüllt sind:

  • x * ( y * z ) = ( x * y ) * z (Assoziativität)
  • es gibt ein e so dass e * x = x = x * e ( neutrales Element )
  • für jedes x gibt es ein i so dass x * i = e = i * x ( inverses Element )

(Manchmal findet man noch die Forderung "Abgeschlossenheit" dass x * y wieder in A liegen soll aber aus der Sicht Algebraikers beinhaltet der Begriff "zweistelligen Verknüpfung" diese bereits.)

In der universellen Algebra ist diese nicht gültig denn die Axiome werden nicht durch Gleichungen ausgedrückt sondern enthalten den Quantor gibt ... so dass" und das ist der universellen Algebra nicht erlaubt. Die Lösung hier nicht schwierig: Wie fügen eine 0-stellige e und eine einstellige Verknüpfung " -1 " hinzu und schreiben die Axiome so:

  • x * ( y * z ) = ( x * y ) * z
  • e * x = x = x * e
  • x * ( x -1 ) = e = ( x -1 ) * x

Es ist nun wichtig zu prüfen wir damit tatsächlich die Definition einer Gruppe haben. Es könnte ja sein dass wir mehr Informationen brauchen um aus einer dieser eine "gewöhnliche" Gruppe zu machen oder umgekehrt. in der Definition der Gruppe besagt zum dass das neutrale Element eindeutig ist und es ein zweites neutrales Element e' gäbe welches der beiden sollte dann Wert der 0-stelligen Verknüpfung e sein? Dies ist jedoch hier kein da das neutrale Element stets eindeutig bestimmt ist und dasselbe auch für das inverse Element jedes x . Also stimmen die beiden Definitionen einer überein.

Homomorphismen

Nachdem wir die Verknüpfungen und Axiome Algebra definiert haben definieren wir nun Homomorphismen zwischen zwei Algebren A und B vom selben Typ (sie haben also die dieselben Axiome erfüllen). Ein Homomorphismus h : A -> B ist eine Funktion die für jede Verknüpfung f (mit der Stelligkeit n ) diese Bedingung erfüllt:

h ( f A ( x 1 ... x n )) = f B ( h ( x 1 ) ... h ( x n ))
(Hier stehen Indices an der Verknüpfung f um zu unterscheiden welche der beiden gemeint ist. In der Praxis ergibt sich aus dem Kontext so dass diese Unterscheidung wird.) Ist zum Beispiel e eine Konstante (0-stellige Verknüpfung) dann ist h ( e A ) = e B . Ist ~ eine einstellige Verknüpfung dann h (~ x ) = ~ h ( x ). Ist * eine binäre Verknüpfung dann h ( x * y ) = h ( x ) * h ( y ). Ein bijektiver Homomorphismus dessen Umkehrfunktion ein Homomorphismus ist heißt Isomorphismus .

Siehe auch: Homomorphiesatz .

Ausblick

Dieser Artikel reicht nicht aus die der Ergebnisse der universellen Algebra zu zeigen. Motivation der universellen Algebra ist die große verschiedener Algebren (im Sinne der universellen Algebra) z.B. Gruppen Monoide Verbände die aber alle ähnliche Theoreme zulassen. der Entwicklung der universellen Algebra wurden viele (vor allen die Isomorphiesätze ) für jede Struktur einzeln bewiesen aber kann man sie ein einziges mal beweisen alle Arten algebraischer Strukturen.

Eine noch allgemeinere Idee liegt der Kategorientheorie zugrunde. Sie ist auf viele Situationen die in universeller Algebra nicht darstellbar sind liefert so weiter reichende Aussagen. Umgekehrt lassen manche Aussagen der universellen Algebra nicht auf Kategorien übertragen. So sind also beide Teilgebiete Die Verbindung zwischen ihnen ist diese: Für Verknüpfungen und Axiome bilden die zugehörigen Algebren Homomorphismen eine Kategorie.




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