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Vektor (Mathematik)


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der Geometrie ist ein Vektor eine Klasse von Pfeilen gleicher Länge ( Betrag ) und gleicher Richtung .

Allgemeiner ist in der linearen Algebra ein Vektor als Element eines Vektorraumes definiert. Dies ist eine viel umfassendere die neben den "herkömmlichen" geometrischen Vektoren verschiedenste Objekte ( Zahlen Folgen Funktionen und Transformationen ) beinhaltet. Demnach ist auch jeder Tensor ein Vektor obwohl man per Konvention Vektoren als Matrizen und mehrdimensionale Vektoren als bezeichnet.

In der Differentialgeometrie der Physik und der Technik bezieht sich der Ausdruck Vektor normalerweise auf einen geometrischen Vektor des euklidischen Raumes der durch einen Betrag und eine geben ist. Beispiele sind Geschwindigkeit Impuls Kraft Moment und Beschleunigung . Nach dieser Definition ist ein Vektor Tensor erster Stufe. Alle folgenden Betrachtungen beziehen auf solche Vektoren allgemeine Eigenschaften finden sich Vektorraum

Vektoren kann man skalare Größen wie Abstand Energie Zeit Temperatur Ladung Leistung Arbeit und Masse gegenüberstellen die zwar einen Betrag aber Richtung haben.

Vektoren sind nomalerweise ungebunden das heißt haben keinen fixen Ausgangspunkt. Ein Vektor kann als die Menge aller "Pfeile" die parallel gleich lang und gleich orientiert sind werden.

Im Unterschied dazu haben gebundene Vektoren Ausgangspunkt. Sie können zum Beispiel als so Ortsvektoren die Position eines Punktes im Raum angeben. Kräfte die auf wirken sind teilweise gebunden. Sie wirken entlang bestimmten Geraden. Es ist egal an welchem der Geraden sie angreifen. Man nennt sie Vektoren.

Ein Vektor mit der Länge 1 Einheitsvektor .

Inhaltsverzeichnis

Darstellungsformen

Variablen die für Vektoren stehen werden mit einem Pfeil gekennzeichnet (<math>\vec{a}</math>) oder fett ( a ). ( Anmerkung: In diesem Artikel wird durchgängig die verwendet in anderen Wikipedia-Artikeln kommt aber auch Fettdruck vor. ) Ist der Betrag also die Länge des Vektors gemeint wird der Vektor zwei senkrechten Betragsstrichen eingeklammert: <math>|\vec{a}|</math>

Grafisch werden Vektoren normalerweise als Pfeile dargestellt:

A wird in diesem Fall als Schaft oder Startpunkt und B als Spitze oder Endpunkt des Vektors Die Richtung des Pfeiles gibt die Richtung Vektors an und die Länge seinen Betrag. Vektor kann auch als <math>\overrightarrow{AB}</math> bezeichnet werden sein Betrag als <math>|\overrightarrow{AB}|</math> bzw. <math>\overline{AB}</math>. Dabei zu beachten dass der Vektor nicht an Punkte A und B gebunden ist sondern dass diese ihn definieren.

Um mit Vektoren sinnvoll rechnen zu ist die grafische Notation natürlich unpraktisch. In n - dimensionalem Euklidischen Raum können Vektoren als Linearkombination von n Basisvektoren dieses Raumes dargestellt werden. Im kartesischen Koordinatensystem nimmt man dafür n paarweise aufeinander normal stehende Einheitsvektoren .

Als Beispiel für diesen Artikel soll der dreidimensionale Vektorraum R ³ mit einem kartesischen Koordinatensystem dienen. Sind <math>\vec{j}</math> und <math>\vec{k}</math> die Einheitsvektoren in Richtung x- y- bzw. z-Achse kann jeder Vektor <math>\vec{a} = a_1\vec{i} + a_2\vec{j} + a_3\vec{k}</math> werden. Die reellen Zahlen a 1 a 2 und a 3 sind eindeutig durch <math>\vec{a}</math> festgelegt. Oft man Vektoren auch kurz als 3x1- oder Matrix :

<math>\vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ oder }\quad
 \vec{a} = \begin{pmatrix}a_1 & a_2 & \\\end{pmatrix}</math>  
Mit dieser Schreibweise ist zwar die des Koordinatensystems nicht festgehalten falls nicht anderes angegeben aber immer das kartesische System gemeint da für viele Rechnungen am einfachsten ist.

Aus dem Satz von Pythagoras folgt dass der Betrag des Vektors berechnet werden kann:

<math>|\vec{a}| = \sqrt{{a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2}</math>

Rechenoperationen

Addition und Subtraktion

Die Summe der beiden Vektoren

<math>\vec a= a_1\vec i + a_2\vec j a_3\vec k\ \mathrm{und}\ \vec b = b_1\vec + b_2\vec j + b_3\vec k</math>
berechnet sich als:
<math>\vec{a}+\vec{b} = (a_1+b_1)\vec{i} + (a_2+b_2)\vec{j} + (a_3+b_3)\vec{k}
 \begin{pmatrix}a_1+b_1 \\ a_2+b_2 \\ a_3+b_3\end{pmatrix}.</math>  

Die Vektor addition kann man graphisch interpretieren indem man Schaft des zweiten Vektors an die Spitze ersten Vektors anschließt. Die Pfeil vom Schaft ersten Vektors bis zu Spitze des zeiten representiert den Ergebnisvektor:

Die Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec können hier als Seiten eines Parallelogramms aufgefasst werden und der Ergebnisvektor als (längere) Diagonale . Für die Addition von Vektoren gilt Assoziativgesetz und das Kommutativgesetz .

Die Differenz dieser beiden Vektoren ist:

<math>\vec{a}-\vec{b} = (a_1-b_1)\vec{i} + (a_2-b_2)\vec{j} + (a_3-b_3)\vec{k}
 \begin{pmatrix}a_1-b_1 \\ a_2-b_2 \\ a_3-b_3\end{pmatrix}.</math>  

Die geometrische Interpretation der Subtraktion von zwei Vektoren ist: Zwei Vektoren subtrahiert indem man den Schaft des zweiten an den Schaft des ersten Vektors anschließt. Pfeil des Ergebnisvektors beginnt in der Spitze zweiten Vektors und endet in der Spitze ersten Vektors. Alternativ kann man auch die Spitzen zusammenschließen und die Schäfte verbinden.

Die Subtraktion kann auch als Addition entgegengesetzt orientierten Vektors aufgefasst werden.

Multiplikation mit einem Skalar

Vektoren können mit reellen Zahlen oft Skalare genannt um sie von Vektoren unterscheiden können multipliziert werden:

<math>r\vec{a} = (ra_1)\vec{i} + (ra_2)\vec{j} + (ra_3)\vec{k}
 \begin{pmatrix}ra_1 \\ ra_2 \\ ra_3\end{pmatrix}</math>  

Die Länge des resultierenden Vektors ist <math>|r|\cdot|\vec{a}|</math>. Wenn der Skalar negativ ist ändert zusätzlich die Richtung um 180 ° . Die folgende Grafik illustriert zwei Beispiele mit -1 und 2):

Für die Vektoraddition und die Multiplikation einem Skalar gilt das Distributivgesetz :

<math>r\cdot(\vec a + \vec b) = r\vec + r\vec b</math>

Skalarprodukt

Das Skalarprodukt (oder Inneres Produkt ) zweier Vektoren <math>\vec a</math> und <math>\vec so genannt weil das Ergebnis ein Skalar wird notiert als <math>\vec a\cdot\vec b</math> und definiert als

<math>\vec{a}\cdot\vec{b}

\left|\vec{a}\right|\left|\vec{b}\right|\cos(\theta) </math> wobei θ der zwischen den Vektoren eingeschlossene Winkel ist. (siehe auch Cosinus ). Im Kartesischen Koordinatensystem berechnet es sich
<math>\vec{a}\cdot\vec{b}

\begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3 \end{pmatrix}\cdot\begin{pmatrix}b_1 b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} = a_1b_1+a_2b_2+a_3b_3</math> Geometrisch bedeutet das Skalarprodukt eine der Länge des ersten Vektors mit der der Projektion des zweiten Vektors auf den ersten Daher ist das Skalarprodukt zweier normal aufeinander stehender Vektoren immer 0. Diese wird in oft der Physik gebraucht zum Beispiel um die Arbeit zu berechnen wenn Kraft und Weg nicht in der selben Richtung verlaufen. das Skalarprodukt gilt das Kommutativgesetz .

Kreuzprodukt

Das Kreuzprodukt (auch vektorielles oder äußeres Produkt ) (notiert als <math>\vec a\times\vec b</math>) zweier in einem dreidimensionalen euklidischen Vektorraum ist ein bestimmter Vektor der normal im Sinne des Skalarprodukts) auf der von a</math> und <math>\vec b</math> aufgespannten Ebene steht.

Im gewöhnlichen dreidimensionalen Raum R 3 ist das Kreuzprodukt von a und b definiert als

<math>
 \vec{a}\times\vec{b}  

\left|\vec{a}\right| \left|\vec{b}\right| \sin(\theta) \vec{n}</math> wobei θ von den beiden Vektoren eingeschlossene Winkel (siehe Sinus ) und <math>\vec n</math> der zu beiden normale Einheitsvektor ist. Diese Definition hat allerdings Problem dass es zwei Vektoren gibt die auf <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> stehen. korrekten Vektor bestimmt die Orientierung des Vektorraumes. Das heutzutage verwendete Koordinatensystem "rechtshändig" (ein so genanntes "Rechts-System") d.h. sowohl Koordinatenachsen (x y und z) als auch Vektoren <math>\vec a</math> <math>\vec b</math> und <math>\vec{a}\times\vec{b}</math> sich wie Daumen Zeigefinger und Mittelfinger der Hand wenn man sie im rechten Winkel zueinander von der Handfläche wegstreckt (daher Rechte-Hand-Regel genannt). Graphisch lässt sich das Kreuzprodukt als:
Im Kartesischen Koordinatensystem kann das Kreuzprodukt werden als:
<math>
\vec{a}\times\vec{b}

 \begin{pmatrix}a_1 \\ a_2 \\ a_3\end{pmatrix}  
\times
 \begin{pmatrix}b_1 \\ b_2 \\ b_3 \end{pmatrix} 

\begin{pmatrix} a_2b_3 - a_3b_2 \\ a_3b_1 a_1b_3 \\ a_1b_2 - a_2b_1 \end{pmatrix} </math> Betrag von <math>\vec a\times\vec b</math> entspricht der des von <math>\vec a</math> und <math>\vec b</math> Parallelogramms. Für das Kreuzprodukt gilt nicht das Kommutativgesetz :
<math>\vec{a}\times\vec{b}

- \vec{b}\times\vec{a}</math> Es gibt eine Verallgemeinerung des Kreuzprodukts n -dimensionale Räume die allerdings nicht mehr nur Vektoren verknüpfen sondern n-1 Vektoren. Das Kreuzprodukt Vektoren ist ein Vektor der auf allen steht und dessen Länge und Richtungssinn von Längen und der Reihenfolge der Argumente abhängt. Siehe dazu : Kreuzprodukt . Siehe auch: Analytische Geometrie Spatprodukt Vektorgrafik



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