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Viereck



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Hierarchie der Vierecke

Ein Viereck ist ein mathematisches Objekt der ebenen Geometrie . Es ist ein geschlossener Polygonzug aus 4 Teilstrecken den 4 Seiten.

Ein Viereck hat 2 verschiedene Diagonalen . Liegen beide Diagonalen innerhalb des Vierecks man von einem konvexen V. liegt genau eine Diagonale außerhalb einem konkaven V. Bei einem überschlagenen V. liegen Diagonalen außerhalb des Polygons. (siehe Grafik)

Die Innenwinkelsumme in einem (nicht überschlagenen) Viereck beträgt Grad.

Sonderformen des Vierecks

  • Trapez : Viereck mit mindestens zwei parallelen Seiten. werden nur nicht überschlagene Vierecke mit dieser Eigenschaft als Trapeze
  • Parallelogramm : Viereck bei dem je zwei einander Seiten parallel sind. <==> Viereck bei dem die gegenüberliegenden Winkel gleich groß sind.
  • Rechteck : Viereck bei dem alle Innenwinkel 90° (siehe rechter Winkel )
  • Drachenviereck : Viereck bei dem die Diagonalen senkrecht stehen . <==> Viereck mit zwei Paaren Seiten die gleich lang sind.
  • Raute (Rhombus): ein Viereck mit 4 gleichlangen
  • Quadrat (Geometrie) : Rechteck mit 4 gleichlangen Seiten. <==> mit rechten Winkeln.
  • Sehnenviereck : Ein Viereck mit einem Umkreis (Alle vier Eckpunkte liegen auf einem
  • Tangentenviereck : Ein Viereck mit einem Inkreis .

Zwischen den einzelnen Vierecktypen gelten u.a. Mengenrelationen:
(Dabei steht jeder Begriff X synonym für Menge aller X )

Die in der Grafik dargestellten Teilmengenbeziehungen Beispiel:
Quadrat ⊂ Rechteck ⊂ Parallelogramm ⊂ ⊂ Konvexes_Viereck

Quadrat = Rechteck ∩ Raute
Quadrat = Sehnenviereck ∩ Drachenviereck
Rechteck = Sehnenviereck ∩ Parallelogramm
Raute = Drachenviereck ∩ Trapez
Raute = Tangentenviereck ∩ Parallelogramm
Gleichschenkliges_Trapez = Sehnenviereck ∩ Trapez

Formeln

Bezeichnungen am Viereck

Innenwinkelsumme ist 360°: <math>\alpha+\beta+\gamma+\delta=360^\circ</math>

<math>\theta = 90^\circ \Longleftrightarrow a^2+c^2 = b^2+d^2</math>

<math>A=\frac{1}{2} e f \sin \theta</math>

<math>A=\frac{1}{4}\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right) \tan \theta</math>

<math>A=\frac{1}{4}\sqrt{4e^2f^2-\left(b^2+d^2-a^2-c^2\right)^2}</math>

Eigenschaften

Ein Viereck wird durch folgende Angaben

  • die Winkel an den Ecken
  • die Seitenlängen
  • der Umfang
  • die Fläche
  • den Schwerpunkt
  • die Diagonalen



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