Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSamstag, 25. Januar 2020 

Vollkommene Zahl


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Eine Zahl wird vollkommene Zahl (auch perfekte Zahl oder ideale Zahl ) genannt wenn sie die Summe ihrer (positiven) echten Teiler (d.h. aller Teiler außer sich selbst)

Ein Beispiel für eine vollkommene Zahl die 6. Ihre echten Teiler sind 1 2 Es ist 1 + 2 + 3 = 6. Die 6 zudem die kleinste vollkommene Zahl.

Bereits Euklid stellte fest dass sich die ersten vollkommenen Zahlen aus der Formel 2 n  − 1 (2 n  − 1) berechnen lassen:

  • Für n = 2 <math>2^1(2^2 - 1)</math> = = 1 + 2 + 3
  • Für n = 3 <math>2^2(2^3 - 1)</math> = = 1 + 2 + 4 + 7 + 14
  • Für n = 5 <math>2^4(2^5 - 1)</math> =
  • Für n = 7 <math>2^6(2^7 - 1)</math> =

Euklid bewies dass diese Formel immer eine vollkommene Zahl liefert wenn 2 n -1 eine Primzahl ist dies sind die so genannten Mersenne-Primzahlen . Fast 2000 Jahre später konnte Leonhard Euler beweisen dass auf diese Weise alle vollkommenen Zahlen erzeugt werden.

Es ist unbekannt ob es auch ungerade vollkommene Zahlen Man weiß jedoch dass eine solche Zahl es sie denn gäbe größer als 10 300 sein und mindestens 8 (bzw. 11 die Zahl nicht durch 3 teilbar ist) Primteiler haben müsste.

Inhaltsverzeichnis

Verwandtschaft mit anderen Zahlenklassen


Abundante und Defiziente Zahlen

Abundante Zahlen sind solche Zahlen bei denen die σ * größer als die Zahl selber ist Defiziente Zahlen sind solche bei denen die Teilersumme * kleiner als die Zahl selber ist.

Mehrfach vollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt mehrfach vollkommen wenn die Summe der echten Teiler Vielfaches von n ist also

σ * (n) = kn wobei k > 0 natürliche Zahl ist.

Beispiel: Die Zahl 120 ist dreifach denn die Summe ihrer Teiler ist 360.

Pseudovollkommene Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt pseudovollkommen wenn sie sich als Summe einiger verschiedener echter Teiler darstellen lässt.

Beispiel: 20 = 1 + 4 5 + 10 ist pseudovollkommen weil der 2 in der Summendarstellung fehlt.

Merkwürdige Zahlen

Eine natürliche Zahl n heißt merkwürdig wenn sie nicht pseudovollkommen und auch vollkommen ist. D.h. sie kann nicht als einiger oder aller verschiedener Teiler dargestellt werden.

Beispiel: Die Zahl 70 ist merkwürdig sie kann nicht als Summe aus der 1 2 5 7 10 14 35 werden.

Befreundete Zahlen

Verwandt mit den vollkommenen Zahlen sind befreundeten Zahlen bei denen die Summe der Teiler einen Zahl jeweils die andere Zahl ergibt.

Weitere Eigenschaften der vollkommenen Zahlen

Summe der reziproken Teiler

Die Summe der reziproken Teiler k i einer vollkommenen Zahl n ergibt 2.

<math>\frac{1}{k_1}+\frac{1}{k_2}+... = 2 </math>

Darstellung von Eaton (1995 1996)

Jede gerade vollkommene Zahl n > hat die Darstellung

<math>n = 1 + \frac{9}{2}k(k+1) </math>
<math>mit \quad k = 8j + 2</math>

Umgekehrt erhält man nicht zu jedem eine vollkommene Zahl.

Beispiel:

j=0 ergibt k=2 ergibt n=28 vollkommen
j=1 ergibt k=10 ergibt n=496 vollkommen
j=2 ergibt k=18 ergibt n=1540 nicht vollkommen

Summe der ersten natürlichen Zahlen

Jede gerade vollkommene Zahl n lässt mit einer geeigneten natürlichen Zahl k darstellen

<math>n = \sum_{i=1}^ki </math>

Beispiele:

<math>6 = \sum_{i=1}^3i </math>
<math>28 = \sum_{i=1}^7i </math>
<math>496 = \sum_{i=1}^{31}i </math>

Weblinks



Bücher zum Thema Vollkommene Zahl

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Vollkommene_Zahl.html">Vollkommene Zahl </a>