Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSonntag, 20. Oktober 2019 

Weg (Mathematik)


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
In der Topologie und der Analysis ist ein Weg eine stetige Abbildung eines reellen Intervalls einen topologischen Raum. Das Bild eines Weges Kurve .

Inhaltsverzeichnis

Definition

Sei X ein topologischer Raum I = [ a b ] ein reelles Intervall . Ist f : I -> X eine stetige Funktion dann heißt f ein Weg in X . Die Bildmenge f ( I ) heißt Kurve in X .

Die Punkte f ( a ) und f ( b ) heißen Anfangspunkt und Endpunkt der Kurve.

Ein Weg f heißt geschlossener Weg wenn f ( a )= f ( b ) ist. Ein geschlossener Weg liefert eine Abbildung vom Einheitskreis S 1 nach X .

Ein Weg f heißt einfacher Weg wenn f injektiv ist mit der Ausnahme dass f ( a )= f ( b ) zugelassen ist. Ein einfacher Weg heißt Jordan-Weg .

Diese Definition umfasst das was wir intuitiv unter einer "Kurve" vorstellen: Eine zusammenhängende Figur die "wie eine Linie" ist (eindimensional). es gibt auch Kurven die nicht intuitiv genannt werden würden.

Man muss zwischen einem Weg und Kurve (dem Bild eines Weges) unterscheiden. Zwei Wege können dasselbe Bild haben. Oft sind jedoch nur an dem Bild interessiert und dann den Weg eine Parametrisierung der Kurve.

Wenn es zu einer Kurve eine gibt die ein Jordan-Weg ist dann nennt die Kurve eine Jordan-Kurve ebenso für geschlossene Kurve .

Beispiele

Der Graph einer stetigen Funktion h : [ a b ] -> X ist eine Jordan-Kurve in R × X . Eine Parametrisierung ist der Jordan-Weg

f :[ a b ] -> R × X f ( t ) = ( t h ( t )).
Dabei wird auf R × X die Produkttopologie verwendet.

Der Einheitskreis ist eine geschlossener Jordan-Kurve.

Rektifizierbare Wege

Ist X ein metrischer Raum mit Metrik d dann können wir die Länge L eines Weges f in X definieren:

<math>
L(f) = \sup\{ \sum_{i=1}^n d(f(t_i) f(t_{i-1})) n \in \mathbb{N} a\le t_0 < t_1 \ldots < t_n \le b\} </math>

Ein rektifizierbarer Weg ist ein Weg endlicher Länge. Jeder stückweise stetig differenzierbare Weg rektifizierbar und seine Länge ist das Integral über den Betrag der Ableitung (sozusagen die Geschwindigkeit ):

<math>L(f) = \int_a^b |f'(t)| dt</math>

Die Koch-Kurve ist ein Beispiel eines nicht rektifizierbaren

Andere Wege

Ein fraktaler Weg ist ein Weg mit gebrochener Da es verschiedene Definitionen der gebrochenen Dimension gibt es also auch verschiedene Definition eines Wegs. Typische Beispiele sind die Koch-Kurve und die Drachenkurve .

Auch in der algebraischen Geometrie definiert man Kurven z.B. elliptische Kurven die haben jedoch mit dem hier Begriff nur am Rande zu tun.



Bücher zum Thema Weg (Mathematik)

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Weg_(Mathematik).html">Weg (Mathematik) </a>