Studium, Ausbildung und Beruf

web uni-protokolle.de
 powered by
NachrichtenLexikonProtokolleBücherForenSonntag, 20. Oktober 2019 

Wellengleichung


Dieser Artikel von Wikipedia ist u.U. veraltet. Die neue Version gibt es hier.
Als Wellengleichung bezeichnet man eine mathematische Gleichung die die Ausbreitung von Wellen modelliert und darüber hinaus (zusammen mit Varianten) auch als unabhängiger Forschungsgegenstand von Interesse

Unter einer homogenen Wellengleichung versteht man eine lineare partielle Differentialgleichung zweiter Ordnung für eine Funktion

<math>u(x_1 ... x_n t)</math>
der Form
<math> c^2 \sum_{i=1}^{n} \frac{\partial^2 u}{\partial x_i^2} - u}{\partial t^2} = 0</math>

Unter einer inhomogenen Wellengleichung versteht man die Differentialgleichung die man Ersetzen der rechten Seite durch eine Funktion x i und t aus obiger Gleichung ersetzt. Die Wellengleichung vom hyperbolischen Typ.

Oft wird der Begriff "Wellengleichung" darüber auch auf andere lineare Differentialgleichungen zweiter Ordnung deren Lösungen als Linearkombinationen ebener Wellen geschrieben werden können.

Die Funktion u kann dabei in die reellen oder Zahlen aber auch auf Vektoren Tensoren oder Spinoren abbilden.

Lösungen der homogenen Wellengleichung in einer

Die homogene Wellengleichung in einer Dimension

<math>c^2 \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} = \frac{\partial^2 u}{\partial
(hierbei ist die Funktion u natürlich zweidimensional aber üblicherweise wird t hier nicht mitgezählt). Sie hat als Lösung
<math>u(x t) = f(x + ct) + - ct)</math>
mit beliebigen zweimal differenzierbaren Funktionen f ( x ) und g ( x ). Dabei beschreibt der erste Summand eine Geschwindigkeit c nach links laufende der zweite eine mit derselben Geschwindigkeit nach rechts laufende

Mit Hilfe der Fouriertransformation lassen sich die Funktionen f und g als Linearkombination von Sinus -Funktionen oder auch komplexen Exponentialfunktionen schreiben wobei Funktionen die Form

<math>u(x t) = A\sin(k x \pm \omega + \phi)</math>
bzw.
<math>u(x t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(k x \pm \omega
haben (in der zweiten Schreibweise steckt Phase <math>\phi</math> im komplexen Vorfaktor A ) wobei
<math>\omega = k c</math>

Die Wellengleichung in mehreren Dimensionen

In mehreren Dimensionen lässt sich die Lösung nicht mehr so einfach hinschreiben aber hier können alle Lösungen als Linearkombination der Wellen

<math>A\sin(\vec k\vec x \pm \omega t +
bzw.
<math>u(x t) = A\mathrm{e}^{\mathrm{i}(\vec k \vec x \omega t)}</math>
mit
<math>\omega = \left|\vec k\right| c</math>
geschrieben werden. Diese Wellen haben alle Geschwindigkeit c und bewegen sich in Richtung von k</math>.



Bücher zum Thema Wellengleichung

Dieser Artikel von Wikipedia unterliegt der GNU FDL.

ImpressumLesezeichen setzenSeite versendenSeite drucken

HTML-Code zum Verweis auf diese Seite:
<a href="http://www.uni-protokolle.de/Lexikon/Wellengleichung.html">Wellengleichung </a>