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Trigonometrische Funktion


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Mit trigonometrischen Funktionen (Synonym: Winkelfunktionen) bezeichnet man rechnerische Zusammenhänge Winkel und Seitenverhältnissen (ursprünglich in rechtwinkligen Dreiecken). mit Verhältniswerten für bestimmte Winkel ermöglichen Berechnungen Vermessungsaufgaben die Winkel und Seitenlängen in Dreiecken

Inhaltsverzeichnis

Übersicht der trigonometrischen Funktionen

Die gebräuchlichsten trigonometrischen Funktionen sind

Die Kehrwerte der obigen Funktionen sind ebenfalls trigonometrische sie werden aber seltener benutzt:

  • Sekans funktion (Kehrwert des Kosinus sec x = x)
  • Kosekans funktion (Kehrwert des Sinus csc x = x) und
  • Kotangensfunktion (Kehrwert des Tangens cot oder ctg cos x/sin x; Verhältnis der An- Kathete zur Gegen-Kathete in einem rechtwinkligen Dreieck ).

Definition

Ursprünglich als Seitenverhältnisse in rechtwinkligen Dreiecken daher nur für Winkel von 0 bis Grad definiert (siehe Sinus Kosinus Tangens ) können die Winkelfunktionen als Sekanten- und am Einheitskreis auch auf größere Winkel erweitert Vom Schnittpunkt des einen Winkelschenkels mit dem werden die Lote auf die beiden Koordinatenachsen und liefern Sinus und Kosinus des Winkels. Tangenten in den Punkten x=1 bzw. y=1 den Schenkel ebenfalls und liefern dann in Projektion auf die Achsen den Tangens und Kotangens. Dabei muss der Schenkel gegebenenfalls rückwärts werden um einen Schnittpunkt zu erzielen. Auf Weise können jedem Winkel von 0 bis Grad Werte der Winkelfunktionen zugeordnet werden die freilich auch negativ werden können (siehe Abbildung).

Die Vorzeichen der Winkelfunktionen in Abhängigkeit Quadranten gibt die folgende Tabelle an:

Quadrant sin cos tan ctg
I + + + +
II + - - -
III - - + +
IV - + - -

Eine Tabelle spezieller Werte findet sich Reduktionsformeln .

Anwendung der trigonometrischen Funktionen

Hauptsächlich werden die trigonometrischen Funktionen im genutzt. Für eine Liste von Formeln zur von Größen am Dreieck siehe den Artikel Dreieckstrigonometrie .

Weiterhin sind sie in der Analysis bei vielen Anwendungen der Physik wichtig. Es besteht eine enge Beziehung Exponentialfunktion die besonders bei Funktionen komplexer Zahlen und in der Taylorreihe der Funktionen sichtbar wird.

Umkehrung der trigonometrischen Funktionen

In manchen Situationen werden die trigonometrischen benötigt um aus Seitenverhältnissen Winkel zu berechnen. werden die Arcus-Funktionen oder inverse Winkelfunktionen arcsin arccos arctan und arccot - die Umkehrfunktionen zu den trigonometrischen Funktionen - verwendet. Taschenrechnern sind sie häufig (irreführenderweise) mit sin -1 usw. bezeichnet was die Umkehrung zu andeuten solle.

Die Arcus-Funktionen werden verwendet um zu Seitenverhältnis den Winkel zu berechnen. Wegen der der trigonometrischen Funktionen ist bei ihnen zu in welchem Quadrant der gesuchte Winkel liegt.

Funktionale Zusammenhänge

Die Trigonometrischen Funktionen lassen sich ineinander oder gegenseitig darstellen. Es gelten folgende Zusammenhänge:

<math> \tan x = \frac{ \sin }{ \cos x } </math>
<math> \sin^2 x + \cos^2 x 1 </math>
<math>1+\tan ^{2}x=\frac{1}{\cos ^{2}x}=\sec ^{2}x</math>
<math>1+\cot ^{2}x=\frac{1}{\sin ^{2}x}=\csc ^{2}x</math>

Mittels dieser Gleichungen lassen sich die vorkommenden Funktionen durch eine der beiden anderen

<math> \sin x = \sqrt{ 1 \cos^2 x } </math> für <math>x\in \left[ };\;180^{\circ }\right]</math>
<math> \sin x = - \sqrt{ - \cos^2 x } </math> für <math>x\in 180^{\circ };\;360^{\circ }\right]</math>
<math> \sin x = \frac{ \tan }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } </math> für <math>x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]</math>
<math> \sin x = - \frac{ x }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } </math> für <math>x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ

<math> \cos x = \sqrt{ 1 \sin^2 x } </math> für <math>x\in \left[ };\;90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]</math>
<math> \cos x = - \sqrt{ - \sin^2 x } </math> für <math>x\in 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]</math>
<math> \cos x = \frac{ 1 \sqrt{ 1 + \tan^2 x } } für <math>x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \cup 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]</math>
<math> \cos x = - \frac{ }{ \sqrt{ 1 + \tan^2 x } </math> für <math>x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ }\right]</math>

<math> \tan x = \frac{ \sqrt{ - \cos^2 x } }{ \cos x </math> für <math>x\in \left[ 0^{\circ };\;180^{\circ }\right]</math>
<math> \tan x = - \frac{ 1 - \cos^2 x } }{ \cos } </math> für <math>x\in \left[ 180^{\circ };\;360^{\circ
<math> \tan x = \frac{ \sin }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } </math> für <math>x\in \left[ 0^{\circ };\;90^{\circ }\right] \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right]</math>
<math> \tan x = - \frac{ x }{ \sqrt{ 1 - \sin^2 x } </math> für <math>x\in \left[ 90^{\circ };\;270^{\circ

Die Vorzeichen der Winkelfunktionen sind

sin x > 0 für <math>x\in \left] 0^{\circ }\right[</math>
sin x < 0 für <math>x\in \left] 180^{\circ }\right[</math>
cos x > 0 für <math>x\in \left] 0^{\circ }\right[ \cup \left] 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[</math>
cos x < 0 für <math>x\in \left] 90^{\circ }\right[</math>
tan x > 0 für <math>x\in \left] 0^{\circ }\right] \cup \left[ 180^{\circ};\;270^{\circ }\right[</math>
tan x < 0 für <math>x\in \left] 90^{\circ }\right] \cup \left[ 270^{\circ};\;360^{\circ }\right[</math>

Die Vorzeichen von cot sec und stimmen überein mit denen ihrer Kehrwertfunktionen tan bzw. sin.

Die trigonometrischen Funktionen haben einfache Symmetrien:

<math> \sin (-x) = - \sin </math>
<math> \cos (-x) = \cos x
<math> \tan (-x) = - \tan </math>
<math> \cot (-x) = - \cot </math>
<math> \sec (-x) = \sec x
<math> \csc (-x) = - \csc </math>
Weiterhin sind die Additionstheoreme nützlich:
<math> \sin ( x + y = \sin x \; \cos y + y \; \cos x </math>
<math> \sin ( x - y = \sin x \; \cos y - y \; \cos x </math>
<math> \cos ( x + y = \cos y \; \cos x - x \; \sin y </math>
<math> \cos ( x - y = \cos y \; \cos x + x \; \sin y </math>
<math> \tan ( x + y = \frac{ \tan x + \tan y 1 - \tan x \; \tan y </math>
<math> \tan ( x - y = \frac{ \tan x - \tan y 1 + \tan x \; \tan y </math>
<math>\cot \left( x+y\right) =\frac{\cot x\cot y-1}{\cot y}</math>
<math>\cot \left( x-y\right) =\frac{-\left( \cot x\cot }{\cot x-\cot y}</math>
Für x = y folgen hieraus folgende Ausdrücke:
<math> \sin ( 2\; x ) 2 \sin x \; \cos x </math>
<math> \cos ( 2\; x ) \cos^2 x - \sin^2 x = 1 2 \sin^2 x = 2 \cos^2 x 1</math>
<math> \tan ( 2\; x ) \frac{ 2 \tan x }{ 1 - x } </math>
Zur Berechnung des Funktionswertes des halben dienen die Halbwinkelformeln :
<math> \sin ( x/2 ) = \quad fuer \quad x\in \left[ 0^{\circ };\;360^{\circ
<math> \cos ( x/2 ) = \quad fuer \quad x\in \left[ -180^{\circ };\;180^{\circ
<math> \tan ( x/2 ) = = \frac{1-\cos(x)}{\sin(x)}=\frac{\sin(x)}{1+\cos(x)} \quad fuer \quad x\in \left( };\;180^{\circ }\right)</math>

Aus den Additionstheoremen lassen sich Identitäten mit denen die Summe zweier trigonometrischer Funktionen Produkt aufgefasst werden kann:

<math>\sin x+\sin y=2\sin \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}</math>
<math>\sin x-\sin y=2\cos \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}</math>
<math>\cos x+\cos y=2\cos \frac{x+y}{2}\cos \frac{x-y}{2}</math>
<math>\cos x-\cos y=-2\sin \frac{x+y}{2}\sin \frac{x-y}{2}</math>
<math>\tan x+\tan y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\cos x\cos
<math>\tan x-\tan y=\frac{\sin \left( x-y\right) }{\cos x\cos
<math>\cot x+\cot y=\frac{\sin \left( x+y\right) }{\sin x\sin
<math>\cot x-\cot y=\frac{-\sin \left( x-y\right) }{\sin x\sin

Es gibt Reduktionsformeln mit denen man das Argument einer in das Intervall [0 90°] bzw. [0 bringen kann.

Siehe auch: Zusammenhang mit den Hyperbelfunktionen Quadrant



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