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Wohlordnung


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Eine Wohlordnung einer Menge S ist eine totale Ordnung mit der Eigenschaft dass jede nichtleere von S ein bzgl. dieser Ordnung kleinstes Element Die Menge S zusammen mit der Wohlordnung heißt eine wohlgeordnete Menge .

Zum Beispiel ist die normale Anordnung natürlichen Zahlen eine Wohlordnung aber weder die normale der ganzen Zahlen noch die der positiven reellen Zahlen ist eine Wohlordnung.

In einer wohlgeordneten Menge S kann es keine unendlich lange absteigende geben d.h. keine unendliche Folge <math>(a_i)</math> in S so dass für alle i gilt: <math>a_{i+1}<a_i</math>. Unter Verwendung des Auswahlaxioms kann man zeigen dass diese Eigenschaft äquivalent zur Wohlordungseigenschaft ist. Außerdem ist sie zum Lemma von Zorn .

In einer wohlgeordneten Menge hat jedes a außer dem möglicherweise vorhandenen größten Element eindeutigen Nachfolger: Das kleinste Element der Teilmenge Elemente die größer sind als a .

Jedoch muss nicht jedes Element einen haben. Betrachte zum Beispiel zwei Kopien der Zahlen die so geordnet sind dass jedes der zweiten Kopie größer ist als jedes der ersten Kopie. Innerhalb jeder Kopie werde übliche Anordnung gewählt. Dies ist eine wohlgeordnete sie wird üblicherweise mit <math>\omega+\omega</math> bezeichnet. Obwohl jedes Element einen Nachfolger hat (es gibt kein größtes Element) gibt es zwei Elemente Vorgänger: die Null der ersten Kopie (das Element dieser Menge) und die Null der Kopie (jedes Element der ersten Kopie ist als dieses aber diese Teilmenge hat kein Element).

Wenn eine Menge wohlgeordnet ist dann die Technik der transfiniten Induktion genutzt werden um zu zeigen dass gegebene Aussage für alle Elemente dieser Menge (Die vollständige Induktion ist ein Spezialfall davon.)

Das Wohlordnungsprinzip welches äquivalent zum Auswahlaxiom ist besagt jede Menge wohlgeordnet werden kann.

Siehe auch: Ordinalzahl fundierte Menge



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