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Wohlordnungssatz


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Theorem der Mengenlehre

Der Wohlordnungssatz manchmal auch Wohlordnungsprinzip genannt ist eine Aussage der Mengenlehre und besagt:

Jede Menge kann wohlgeordnet werden.

Dieses Theorem ist nützlich denn es die Anwendung der transfiniten Induktion auf jeder Menge. Der Wohlordnungssatz ist zum Auswahlaxiom .

Georg Cantor hielt den Wohlordnungssatz für ein "grundlegendes Vielen Mathematikern schien aber schwer vorstellbar dass <math>\R</math> wohlordenbar sein solle. So glaubte denn 1904 Julius König dies bewiesen zu haben; Felix Hausdorff fand jedoch wenig später einen Fehler Beweis. Ernst Zermelo führte das Auswahlaxiom als "unbedenkliches logisches ein um den Wohlordnungssatz zu beweisen; dieses sich jedoch schnell als äquivalent zum Wohlordnungssatz Das Auswahlaxiom und somit der Wohlordnungssatz sind von der Zermelo-Fraenkel-Mengenlehre d.h. sowohl der Satz als auch Gegenteil lassen sich widerspruchsfrei voraussetzen.

Eigenschaft der natürlichen Zahlen

Manchmal bezeichnet der Wohlordnungssatz oder das Wohlordnungsprinzip aber die Eigenschaft der Menge der natürlichen Zahlen wohlgeordnet zu sein:

Jede nichtleere Menge natürlicher Zahlen enthält eine Zahl.

Dies wird ausgenutzt bei Beweisen durch unendlichen Abstieg oder die Methode des kleinsten Verbrechers : Um zu zeigen dass eine Menge S alle natürlichen Zahl enthält kann man dass sie nicht jede enthält und wegen Wohlordnungsprinzips gibt es dann eine kleinste natürliche die nicht enthalten ist (ein kleinstes Gegenbeispiel ). Wenn man dann zeigt dass es noch kleineres Gegenbeispiel gibt hat man einen (Alternativ kann man auch zeigen dass man jedes Gegenbeispiel ein kleineres findet und somit oft absteigen kann was aber in den Zahlen nicht möglich ist.)

Diese Beweismethode ist eine Umkehrung der vollständigen Induktion (so wie "Aus nicht-B folgt nicht-A" Umkehrung von "Aus A folgt B" ist) aber auf derselben Wohlordnungseigenschaft der natürlichen Zahlen.

Anwendungsbeispiel

Ein Beispiel für diese Beweismethode ist Aussage:

Die Untergruppen der additiven Gruppe ( Z +) der ganzen Zahlen sind genau Teilmengen m Z mit m >=0.

Beweis: Dass diese Teilmengen Untergruppen sind leicht nachzuprüfen. Sei nun U eine beliebige Untergruppe von Z . Enthält U keine positive ganze Zahl dann ist U ={0}=0 Z . Andernfalls sei m die kleinste positive ganze Zahl in U . Sei x irgendein Element aus U wir müssen zeigen dass x = mq für eine ganze Zahl q ist. Dazu dividieren wir x mit Rest durch m : x = mq + r mit q r ganzzahlig und 0<= r < m . Weil r = x - mq in U liegt wäre 0< r < m ein Widerspruch zur Wahl von m als kleinstem positiven Element von U also ist r =0 und x = mq .




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