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Zahlensystem


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Ein Zahlensystem wird zur Darstellung von Zahlen verwendet. Eine Zahl wird dabei nach Regeln des Zahlensystem als Folge von Ziffern dargestellt. Man unterscheidet im wesentlichen zwischen Additionssystemen und Stellenwertsystemen (Positionssystemen).

Additionssysteme

In einem Additionssystem wird eine Zahl als Summe der ihrer Ziffern dargestellt. Ein Beispiel sind die römisch - etruskischen Zahlen mit den Ziffern

 I 1 V 5 X 10 50 C 100 D 500 M 1000 

Die Ziffern werden mit abnehmender Wertigkeit und addiert. 2002 wird zum Beispiel als dargestellt. Da solche Zahlen sehr lang werden wurde das System später dahingehend modifiziert dass nur dreimal hintereinander auftreten dürfen. Eine kleinere die vor einer größeren steht wird von abgezogen. So wurde VIIII zu IX.

Abweichend von dieser Regel (und dem weitverbreiteten Gebrauch) wurde die 4 von den nicht als IV sondern als IIII geschrieben Uhren ist diese Schreibweise bis heute üblich) die Zeichenfolge IV als Kürzel für den Gott Jupiter reserviert war.

Das römische Zahlensystem wurde bis ins 15. Jahrhundert allgemein in Europa verwendet.

Stellenwertsysteme

In einem Stellenwertsystem (Positionssystem) impliziert die Stelle (Position) den der jeweiligen Ziffer. Die 'niederwertigste' Position steht im Allgemeinen rechts .

Ein Stellenwertsystem hat eine Basis b sowie Ziffern die von 0 bis b-1 laufen. Die Ziffernposition hat einen Wert einer Potenz der Basis entspricht. Für die n -te Position hat man einen Wert von b n-1 .

Das bekannteste und verbreitetste Zahlensystem ist Dezimalsystem (oder 10er-System) mit Basis 10 und Ziffern 0 1 2 3 4 5 7 8 und 9. In ihm entspricht Ziffernposition eine Zehnerpotenz. Beispielsweise bedeutet die Ziffernfolge dass

die 7 mit 10 0 = 1
die 5 mit 10 1 = 10
die 8 mit 10 2 = 100 und
die 6 mit 10 3 = 1000

gewichtet wird so dass man 6000 800 + 50 + 7 erhält.

Das Dezimalsystem stammt ursprünglich aus Indien. persische Mathematiker Muhammad ibn Musa al-Chwarizmi verwendete in seinem Arithmetikbuch das er im 8. Jahrhundert schrieb. Bereits im 10. Jahrhundert wurde das System in Europa eingeführt noch ohne Null . Durchsetzen konnte es sich jedoch erst 12. Jahrhundert mit der Übersetzung des genannten Arithmetikbuchs Lateinische .

Siehe auch das Vigesimal System mit der Basis 20.

Im 17. Jahrhundert führte der Mathematiker Gottfried Wilhelm Leibniz das binäre Zahlensystem ( Dualzahlen ) ein ein Stellenwertsystem mit Basis 2 den Ziffern 0 und 1. Dieses wird allem in der Informationstechnik verwendet da hiermit Berechnungen einfach und durchzuführen sind. Die Werte der Stellen sind

2 0 = 1
2 1 = 2
2 2 = 4
2 3 = 8
2 4 = 16
2 5 = 32
u.s.w.

Demnach entspricht 1011 b = 11 (Die Werte werden von nach links gelesen)

1 * 2 0 + 1 * 2 1 + 0 * 2 2 + 1 * 2 3

1 * 1 + 1*2 + * 4 + 1 * 8 =

Da große binäre Zahlen unübersichtlich lang werden zur Darstellung oft Hexadezimalzahlen verwendet die mit der Basis 16 den Ziffern 0 1 2 3 4 6 7 8 9 A B C E und F) arbeiten. Hexadezimale Zahlen und Zahlen lassen sich leicht ineinander umwandeln da Stellen einer binären Zahl gerade einer Stelle hexadezimalen Zahl entsprechen. In der Computertechnik werden Oktalsystem und Hexadezimalsystem verwendet.

Das Duodezimalsystem hat als Basis die 12. Wir es in der Rechnung mit Dutzend und Gros und im angelsächsischen Maßsystem Shilling = 12 Pence) (siehe auch Alte Maße und Gewichte ). Auch die Stundenzählung hat in diesem System ihren Ursprung.

In vielen polytheistischen Religionen gab es Hauptgötter die sich z. B. im alten Ägypten 3 oberste Götter und 3*3 zugeordnete Götter (Die 3 galt als perfekte Zahl; siehe dreieiniger Gott).

Die Babylonier benutzten ein Zahlensystem mit einer Basis 60 ( Sexagesimalsystem ; siehe auch Geschichte von Maßen und Gewichten ).

Bei einigen Naturvölkern sind auch noch zu anderen Basen gefunden worden. Vergleichsweise weit ist das System zur Basis 20. Bei Völkern werden in der Regel zum Zählen den Fingern auch noch die Füße verwendet. analog zu erwartende Zahlensystem zur Basis fünf Völkern die nur eine Hand zum Zählen wurde aber bisher nirgendwo entdeckt. In Neuseeland hingegen das System zur Basis 11 üblich einige Völker benutzen das System zur Basis

Das Unärsystem wird gerne auf Bierdeckeln eingesetzt (die n dezimal wird durch n Striche dargestellt). Unärsystem braucht für die Darstellung großer Zahlen viel Platz.

Mit der Beschränkung des niedrigsten Exponenten 0 kann man nur Ganze Zahlen darstellen. Lässt man auch negative Exponenten zu kann man auch rationale Zahlen einem Stellenwertsystem schreiben wobei der Übergang vom zum negativen Exponenten durch ein Trennzeichen markiert beispielsweise ein Komma:

1234 56 = 1·10 3 + 2·10 2 + 3·10 1 + 4·10 0 + 5·10 -1 + 6·10 -2

Die Ziffern einer rationalen Zahl p / q erhält man durch das Verfahren der Division. Im 10er-System spricht man auch von Hat q zur Basis b teilerfremde Primfaktoren bricht die schriftliche Division nicht ab liefert eine sich wiederholende Folge von Ziffern. wird Periode genannt und durch Überstreichen gekennzeichnet z. B.

<math>5/6 = 0{ }83333\ldots = 0{ }8\overline{3}</math>.

Die Basis b muss nicht notwendigerweise eine natürliche Zahl Es wurde nachgewiesen dass sämtliche komplexen Zahlen mit Betrag größer 1 als Basis Stellenwertsystems verwendet werden können. Ebenso sind Zahlensysteme gemischten Basen möglich. Beispiele hierfür findet man Knuth The Art of Computer Programming .

Eine andere Darstellung für rationale und Zahlen ist der Kettenbruch welcher bessere Approximationen liefert als die



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