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Riemannsche Vermutung


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Die Grundlage für die Riemannsche Vermutung oder Riemannsche Hypothese bildet die Zeta-Funktion die als unendliche Reihe dargestellt werden
<math>
 \zeta (z) = \sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^z} \qquad z > 1 \in \mathbb{R} ) </math>. 

Auf den komplexen Zahlenraum übertragen ist Zeta-Funktion auch als Integral darstellbar:

<math>
 \zeta (z) = {2^{z-1} \over {z-1}} 2^z \int_0^\infty { \sin \left(z \arctan (t) \over {{(1+t^2)}^{z\over 2}}(e^{\pi t}+1)}\ \mbox{d} t \qquad ( z \in \mathbb{C} \backslash \{1\} )  

Die Vermutung des Mathematikers Bernhard Riemann (aus dem Jahre 1859) besagt nun die einzigen komplexen Nullstellen der Zeta-Funktion auf Geraden mit Realteil ein Halb liegen:

<math>
 z = {1\over 2} + y\ \qquad ( y \in \mathbb{R} ) </math> 
i ist hier die imaginäre Einheit .

Ursprünglich ging es bei der komplexen um die Berechnung der Primzahlen-Verteilung bzw. wie deren tatsächliche Häufigkeit von der statistischen abweicht. sie wahr ist hätte das aber auch Auswirkungen auf andere Bereiche der Mathematik z.B. den Umgang mit elliptischen Kurven oder die Goldbachsche Vermutung .

Die Riemannsche Vermutung wurde im Jahr 1900 von David Hilbert in seiner Liste von 23 mathematischen Problemen als Jahrhundertproblem deklariert. Da keine Lösung wurde hat das "Clay Mathematics Institute" im 2000 dieses erneut zu den wichtigsten mathematischen erklärt und einen Preis von einer Million auf einen schlüssigen Beweis der Riemannschen Vermutung Mittlerweile wurde mit Hilfe von Grossrechnern gezeigt die ersten zehn Milliarden Nullstellen der komplexen alle die Riemannsche Vermutung erfüllen sprich sie alle auf der Geraden mit Realteil 1/2.

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