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cosh (komplex) surjektiv, injektiv?
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LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 31 Dez 2016 - 09:50:54    Titel: cosh (komplex) surjektiv, injektiv?

Hallo,

ich habe mal eine Frage zur Injektivität und Surjektivität von cosh.

Und zwar soll ich zeigen, dass der cosh (C -> C) surjektiv ist und danach auch auf Injektivität prüfen.

Injektiv bedeutet ja, dass verscheidene x-Werte nicht den selben f(x)-Wert haben. Surjektivität bedeutet, dass es zu jedem y-Wert im Wertebereich ein x im Definitionsbereich gibt das darauf abgebildet wird.

Nun war mir erstens prinzipiell noch nie so wirklich klar wie man die Injektivität/ Surjektivität zeigt (ohne Skizze). Und schonmal gar nicht bei komplexen Funtkionen.

Wäre super wenn mit jemand weiterhelfen könnte und ein einen Guten Rutsch in neue Jahr.
London Screaming
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Anmeldungsdatum: 04.04.2013
Beiträge: 188

BeitragVerfasst am: 31 Dez 2016 - 10:28:51    Titel:

Der cosh im Komplexen ist definiert durch cosh(z):=1/2 * (e^z + e^(-z)), wobei z=x+iy und x,y reell.

Um Injektivität zu zeigen, sagt man üblicherweise cosh(x+iy)=cosh(u+iv) und zeigt dann, dass x=u und y=v gelten muss.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 01 Jan 2017 - 04:57:18    Titel:

Und wie zeige ich, dass x=u und y=v gelten?
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3000

BeitragVerfasst am: 01 Jan 2017 - 11:40:06    Titel:

Fang doch mal an mit

cosh(x+iy)=cosh(u+iv).
Wie kannst Du auch anders anfangen?
Jetzt verwende die Definition von cosh.
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2017 - 03:25:28    Titel:

Der Cosinus hyperbolicus ist nicht injektiv. Such also stattdessen eher nach einem Gegenbeispiel für Injektivität. Ich weiß nicht, warum meine Vorposter mit ihren Posts in diese Richtung deuten. Tipp: Es gilt cosh(it) = cos(t)
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3000

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2017 - 14:50:41    Titel:

Das war natürlich ein Griff ins Klo. Danke für den Hinweis.
London Screaming
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Anmeldungsdatum: 04.04.2013
Beiträge: 188

BeitragVerfasst am: 03 Jan 2017 - 15:26:57    Titel:

LGMath hat folgendes geschrieben:
Und wie zeige ich, dass x=u und y=v gelten?


Garnicht.
LGMath
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Anmeldungsdatum: 12.11.2016
Beiträge: 37

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2017 - 17:05:20    Titel:

Danke für den Antwort, mit x=u und y=v bin ich nicht weitergekomme. Wie komme ich denn mit dem Tipp cosh(it) = cos(t) weiter?
London Screaming
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Anmeldungsdatum: 04.04.2013
Beiträge: 188

BeitragVerfasst am: 08 Jan 2017 - 21:15:26    Titel:

LGMath hat folgendes geschrieben:
Danke für den Antwort, mit x=u und y=v bin ich nicht weitergekomme. Wie komme ich denn mit dem Tipp cosh(it) = cos(t) weiter?


Garnicht!!! Der cosinus hyperbolicus ist nicht injektiv (guck dir den Graphen dazu an oder so, dann siehst du's..).
Nofeys
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Anmeldungsdatum: 08.04.2009
Beiträge: 668

BeitragVerfasst am: 11 Jan 2017 - 16:09:42    Titel:

Natürlich kommt man damit weiter. Damit sieht man, dass der Cosh genau dann injektiv ist, wenn der Cos injektiv ist, was vielleicht eher durch Vorwissen bereits als falsch bekannt ist.
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