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Aufgabe zu Linearen Abbildungen
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Eddy408
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Anmeldungsdatum: 10.01.2017
Beiträge: 5

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2017 - 20:31:22    Titel: Aufgabe zu Linearen Abbildungen

Seien K ein Körper und V,V',V'',W, W',W'' Vektorräume über K. Für zwei-K-lineare Abbildungen f:V->V' und g:W->W' definieren wir
fxg: VxW->V'XW', (v,w)->(f(v),g(w)).
a) Zeigen Sie, fxg ist K-linear.
b) Seien f':V'->V'' und g':W'->W'' weitere K lineare Abbildungen. Zeigen Sie
(f'o f) x (g'og)= (f'xg') o (fxg)
c) Zeigen sie, fxg ist genau dann injektiv, wenn f und g es sind.
d) Zeigen Sie, fxg ist genau dann surjektiv, wenn f und g es sind.

Bei der a) weiß ich das man die Axiome nachweisen soll, jedoch hab ich da schwierigkeiten,bei den restlichen aufgabenteilen hab ich null ahnung. es wäre echt lieb wenn mir hemand helfen könnte
Deniz
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Anmeldungsdatum: 08.07.2004
Beiträge: 3006

BeitragVerfasst am: 10 Jan 2017 - 23:52:29    Titel:

Das sind Standartaufgaben, die lediglich mit der Definition der k-Linearität argumentieren.

Seien K ein Körper und V,V',V'',W, W',W'' Vektorräume über K. Für zwei-K-lineare Abbildungen f:V->V' und g:W->W' definieren wir
fxg: VxW->V'XW', (v,w)->(f(v),g(w)).
a) Zeigen Sie, fxg ist K-linear.

Beweis:

Wir müssen af(y) = f(ay) und f(y+z) = f(y) + f(z) nachweißen und das geht so. Ich mache Dir mal eines vor. (ich vermeide x, weil x schon als "Kreuz" benutzt wird.

(f(av),g(aw)) = (af(v),ag(w)) (weil f und g k-linear sind)
= a(f(v),g(w)) (per Definition Multiplikation eines Vektors mit einem Skalar, da Vektorraum)

(f(v1 + v2),g(w1 + w2)) = (f(v1) + f(v2),g(w1) + g(w2)) (weil f ung g k-liner)
= (f(v1),g(w1)) + (f(v2),g(w2)) (Definition + für Tupel, da Vektorraum)

qed

So ungefähr läuft das ab. Smile
Mach Dir genau klar, welche Voraussetzung wann greift.
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