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Schöne Mathematik ist wichtige Mathematik

11.07.2008 - (idw) Johann Wolfgang Goethe-Universität Frankfurt (Main)

Was die Muster auf Schwimmreifen mit den Bildern M.C. Eschers gemeinsam haben FRANKFURT. Die platonischen Körper haben seit Jahrtausenden Wissenschaft und Kunst beschäftigt. In den Spekulationen der antiken griechischen Physik standen die ersten vier für die Elemente Feuer, Erde, Luft und Wasser, und das Dodekaeder repräsentierte das Ganze des Weltalls. Heutige Mathematiker legen platonische Körper zugrunde, wenn sie Kugeloberflächen mit einem regelmäßigen Muster versehen wollen. Dabei machen sie bei der Kugel nicht halt, sondern studieren auch den Torus, dem man im Alltag als Schwimmreifen kennt, und kompliziertere Brezelflächen. Warum das alles nicht nur schön, sondern auch nützlich ist, erklärt Prof. Jürgen Wolfart in der aktuellen Ausgabe von "Forschung Frankfurt".

Das Fliesenmuster im Bad, die Pflasterung der Fußgängerzone und auch die mittelalterlichen Wanddekorationen der Alhambra in Granada haben eines gemeinsam: Sie füllen eine Fläche lückenlos aus. Für Mathematiker sind solche Parkettierungen der Ebene vor allem unter dem Gesichtspunkt interessant, welche Symmetrien sie darin entdecken. Bei einem Rechteck-Muster gibt es vier Drehungen und zwei Translationen, die das Muster wieder in sich selbst überführen. Bei einem Bienenwaben-Muster sind es neben den Translationen schon sechs Drehungen. Die Klassifikation der Symmetrietypen ebener Ornamente führt auf 17 verschiedene Symmetrie-Gruppen, die übrigens alle in den Ornamenten der Alhambra realisiert sind.

Komplizierter wird es, wenn man nach regulären Parkettierungen auf geschlossenen Flächen wie der Kugel oder dem Torus sucht. Hier kommen die platonischen Körper ins Spiel. Stellt man sich vor, der Würfel oder Oktaeder besäße eine Gummihaut und könnte zu einer Kugel aufgeblasen werden, sieht man, dass die ehemals geraden Kanten nun gebogene Linien sind, die die Oberfläche in ein regelmäßiges Parkett aufteilen. Es gibt fünf verschiedene Parkettierungen, die von den platonischen Körpern abstammen. Dazu kommen die vom Typ "Orange"-und "Globus"-Typ (mit Meridianen und Äquator). Im Gegensatz zur Ebene sind dabei nur endlich viele Parkettsteine nötig.

Was die Arbeitsgruppe um Prof. Jürgen Wolfart am Frankfurter Institut für Mathematik seit über 15 Jahren beschäftigt ist die Frage, ob es solche regulären Parkettierungen auch auf komplizierteren Flächen wie dem Torus gibt. Von welchem Typ sind sie, was bedeuten sie und wie viele gibt es? Diese Fragen untersucht sie in einem intensiven Austausch mit Arbeitsgruppen der Universidád Autónoma de Madrid und Frankfurts Partneruniversität Southampton. Auch beim Torus bestehen die regulären Parkette aus endlich vielen Steinen (Rechtecken und Sechsecken), wie zwei Mathematiker aus Southampton gezeigt haben. Allerdings gibt es unendlich viele verschiedene Typen, weil man die Steine beliebig verkleinern kann.

Der Torus ist nur der Anfang einer Vielfalt komplizierterer Flächen, die Topologen und Funktionentheoretiker dadurch gewinnen, dass sie an die Kugeloberfläche sogenannte "Henkel" ankleben. Ist die Zahl der Henkel größer als eins, sprechen Mathematiker von Brezelflächen. Wie kann man erkennen, ob die Parkettierung auf diesen komplizierten Oberflächen "regulär" ist? Räumliche Bewegungen sind es offenbar nicht, welche diese Fläche samt Parkett in sich überführen. An dieser Stelle muss man die vertraute euklidische Geometrie der Ebene verlassen und sich der erst im 19. Jahrhundert entdeckten hyperbolischen Geometrie zuwenden. Kann man je zwei Kanten auf der Brezelfläche durch hyperbolische Bewegungen ineinander überführen, gilt die Parkettierung als regulär. Solche hyperbolischen Pflasterungen finden sich auch auf Bildern von M. C. Escher.

Für den Mathematiker ist es beruhigend festzustellen: Schöne Mathematik ist erfahrungsgemäß auch wichtige Mathematik. Nach 150 Jahre alten Erkenntnissen von Bernhard Riemann stehen die geschlossenen Flächen, von denen hier die Rede ist, in enger und fruchtbarer Querverbindung zu algebraischen Kurven, gegeben durch "algebraische Gleichungen". In neuerer Zeit ist die Theorie dieser Riemann'schen Flächen wieder von der Physik aufgegriffen worden im Zusammenhang mit der Stringtheorie, einem Versuch, den Graben zwischen Quantenmechanik und allgemeiner Relativitätstheorie zu überbrücken.

Soeben erschienen:
Wissenschaftsmagazin Forschung Frankfurt 2/2008
Schwerpunktthema "Mathematik"

Kostenlos anfordern:
steier@pvw.uni-frankfurt.de

Im Internet:
www.muk.uni-frankfurt.de/Publikationen/FFFM/2008/
Hier finden Sie auch zahlreiche Bilder zum Artikel, die Sie auf Anforderung in hoher Auflösung erhalten.

Informationen:
Prof. Jürgen Wolfart, Tel.:069/798-23423 wolfart@math.uni-frankfurt.de, Algebra und Geometrie, Campus Bockenheim, Universität Frankfurt.

Die Goethe-Universität ist eine forschungsstarke Hochschule in der europäischen Finanzmetropole Frankfurt am Main. Vor 94 Jahren von Frankfurter Bürgern gegründet, ist sie heute eine der zehn größten Universitäten Deutschlands. Am
1. Januar 2008 gewann sie mit der Rückkehr zu ihren historischen Wurzeln als Stiftungsuniversität ein einzigartiges Maß an Eigenständigkeit. Rund um das historische Poelzig-Ensemble im Frankfurter Westend entsteht derzeit für rund 600 Millionen Euro der schönste Campus Deutschlands. Mit 45 eingeworbenen Stiftungs- und Stiftungsgastprofessuren nimmt die Goethe-Uni den deutschen Spitzenplatz ein. In drei Forschungsrankings des CHE in Folge und in der Exzellenzinitiative zeigt sich die Goethe-Universität als eine der forschungsstärksten Hochschulen Deutschlands.


Herausgeber: Der Präsident
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Redaktion: Dr. Anne Hardy, Referentin für Wissenschaftskommunikation
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