Numerik | Zwischenprüfung | Mathematik | Universität Magdeburg

1. erzählen sie was zur numerischen integration.
stichworte:
- newton-cotes & beispiele & (exaktheit angeben)
- gauss-quadratur

2. beweisen sie, dass bei der gauss-quadratur der grad bis zu dem polynome exakt integriert werden 2n+1 ist.
- erklären was nen lagrange-interpolationspolynom ist
- fehlerdarstellung mittels newton darstellen
- orthogonalität der polynome

3. kann es vorkommen, dass die gewichte negativ werden bei der gauss-quadratur? warum?
(legendre-polynome, nullstellenmenge in (-1,1), orthogonalitätseigenschaften)

4. erklären sie, wie man für dünnbesetzte riesige matrizen numerisch für zum bestimmen einer lösung von Ax=b berechnen kann. (jacobi & gauss-seidel) wieso sind diese besser als gauss-formel oder LR-zerlegung?
wie sieht die iterierte aus bei beiden (strukturell)?

5. wann konvergieren diese verfahren und wie schnell? konvergieren diese verfahren für jeden beliebigen startwert x_0? warum?

6. erläutern sie das gradienten und CG-verfahren. welche norm nimmt man für das gradientenverfahren? welches verfahren konvergiert schneller?

7. was ist der unterschied zwischen aproximation und interpolation?

8. gibt es immer eine beste approximation?
=> orthogonalität (mit beweis)

9. was sind die tschebycheff-polynome? wozu?

10. was ist ne tschebycheff-approximation? wann ist diese eindeutig?

11. wie viele beste approximationen gibt es in diesem fall höchstens?

12. worin unterscheidet sich die tschebycheff-approx. zur gauss-approx.?